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京都大学2014年物理第1問
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解説


前半はぬるい問題で取れないときつい印象です。後半は内容としてはそれなりに高度ですが,散々問題集で取り扱われている動く単振動です。

(1)

問題文に書いてあるように,正の方向にそれぞれのバネからklの力を受けるので
ma=2kl⇔a=2kl/m


同様に-2kl/M

ウ,エ
運動量とエネルギーの保存です。vを小球,Vを台とすると,
kyodai_2014_phy_1a_2.png

(2)
オ,カ
(1)で-lだったものがdになっただけです。それに新しい力Nを入れてあげれば,
Ma1=N+2kd
ma2=-2kd


カの方程式はバネ定数2kの単振動で,始動は0からマイナスなので,
kyodai_2014_phy_1a_3.png
エネルギー保存則からAを求めると,
kyodai_2014_phy_1a_4.png

【別解答】微分による解法
単振動の式を微分するとAω=v0になるので,A=v0/ωです。


垂直抗力が0になるのは2kdが0以上になる瞬間です。つまり,d=0となる1/2周期後です。よって,
kyodai_2014_phy_1a_5.png

(3)
問1
”単振動となることを示せ”はお決まりの文言で,単振動と同じx''=-bxという式を作ってやることになります。台車から見た小球とあるので,台車基準の座標で考えます。
kyodai_2014_phy_1a_6.png
となり,相対座標で取ったものが単振動になります。


外力が働いていない系の重心は等速直線運動をします。というか外力のみを考えた運動になります。壁から出る離れるときに小球の速度が正方向なので静止ではなく等速になります。

【参考】重心の運動
物体iの重さをmi,加速度をai,働く外力をFi,物体kから受ける内力をfkiとすると,物体iの運動方程式は以下のようになり,全て足してやると,
kyodai_2014_phy_1a_7.png
となり,重心の加速度が外力のみに依存することが分かり,これを積分していけば重心の速度や位置がでてきます。


等速直線運動で運動量は保存するので,台から離れる瞬間は球が右向きにv0で動いているだけなので,
kyodai_2014_phy_1a_8.png


質量比の逆比が重心からの距離になるので,問1の単振動をm:M に分けたmの方が台車の重心からのズレです。よって,単振動部分の速度を積分したものが位置になるので,
kyodai_2014_phy_1a_9.png

シ,ス
速度はサを微分して考えます。
kyodai_2014_phy_1a_10.png

問2
壁を離れる前の台は一定なので,重心は小球の単振動のグラフをm/(M+m)したものになり,離れてからは重心はコ,台はサになります。速度が最大の点は単振動の中心を右向きに通過するときになるので,その時間は初めの単振動半周期+次の単振動半周期になります。グラフにすると,
kyodai_2014_phy_1a_1.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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