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慶應大学理工学部2013年数学第3問後半
keio_riko_3-2q.png
場合分けが面倒なだけの糞問といわせてください。場合分け大嫌いです。何かいい解き方があって、実はすんなり行くのかもしれません。数学力不足ですみません。

解答

解法のポイント
  • 絶対値を見たら反射的に場合分ける
  • 多重絶対値は各絶対値の条件同士の関係も考慮する


まず内側から行きましょうか。x≧aとx<aで場合分けです。
(i)x≧a
f(x)=|2x/3-a-2|+x/3-2になります。絶対値うざいのでまた場合分けます。2x/3-a-2≧0⇔x≧3(a+2)/2です。x≧aだったので、a≧3(a+2)/2つまり-6≧aだと、以下の(i-ii)は存在しなくなります。た、(i-i)はx≧aの範囲となります。
(i-i)x≧3(a+2)/2
f(x)=x-a-4
(i-ii)a≦x<3(a+2)/2
f(x)=-x/3+a
(ii)x<a
f(x)=|a-2-4x/3|+x/3-2になります。a-2-4x/3≧0⇔x≦3(a-2)/4です。x<aなので、a≦3(a-2)/4つまり、a≦-6のとき(ii-ii)は存在しません。また、(ii-i)はx<aの範囲となります。
(ii-i)x≦3(a-2)/4
f(x)=-x+a-4
(ii-ii)a>x>3(a-2)/4
f(x)=5x/3-a

最小値を求めるためにこれらを元にグラフを書きます。aが-6前後で、分岐の数や条件も変わるので、ここ分けて考えます。

(I)a≧-6
上で分けたすべての分岐があり得ます。慎重にグラフにしていくと、下図のようになります(要点以外はテキトー作図です)。最小となりえるものは(a-10)/4か(a-2)/2です。a≧-6ではつねに(a-10)/4が小さいため、a=(a-10)/4つまり、a=-10/3(a≧-6を満たします)となります(テ)。
keio_riko_3-2a-2.png
また、別の極小値はグラフよりx=-2で、-8/3をとります(トナ)。

(I)a<-6
場合分けの際に言及したように(i-i)と(ii-i)の二つになり、境界がx=aとなります。グラフにするまでもなく、x=aで最小値-4をとりますが、これがaと等しい場合にはa<-6を満たさないため不適です。
追記
コメントを元にgifアニメを作ってみました。動く折れ線と動かない直線のy方向の距離の絶対値がf(x)-x/3+2になります。-6から交点が増えるため場合分けが変わってくることも、どこで場合分ければいいかもわかりやすいです。
keio_riko_3-2aap.gif
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
予備校でアルバイトをしているものなのですが
受験生に「画期的な解法ないですか?」と聞かれて僕も考えてみました。

y_1=|x-a|
y_2=(x+6)/3
とすれば
|y_1-y_2|はxを固定した時,xy座標の2直線のy座標の距離とみることができるので
それで図を書いてみればa=-6の前後での絶対値を外した時の状況が直観的につかめると思います。
そうすれば,f(x)は距離の関数+(x-6)/3とみることができて,見通しも良くなる
と思ったのですが如何でしょうか。
2013/03/02(土) 13:57:44 | URL | somebody #Ac/0La1s [ 編集 ]
確かにわかりやすいです。
追記としてgifアニメ追加させていただきました。
ありがとうございます。
2013/03/02(土) 19:27:58 | URL | 主 #- [ 編集 ]
お返事と追記ありがとうございます。
僕の解答はそのまま|y_1-y_2|のグラフと
(x-6)/3のグラフを合成することで
最小値と極小値を求めているのですが
この問題の場合分けの本質を考えるなら追記のgifアニメーションが全てを語ってくれていると思います。
(あまりこういった丁寧な解答を掲載しているサイトが他になかったので,今回コメントさせていただきました。)

絶対値を距離の式として見るのはよくある方法(少なくとも大学の教科書では割とある)と思うので
そういう見方をできるかが問われている気がします。
2013/03/02(土) 23:44:32 | URL | somebody #Ac/0La1s [ 編集 ]
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