ひたすら受験問題を解説していくブログ
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京都大学2014年物理第3問
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解説


前半で断熱変化を統計力学的に微視的なところからとらえて,後半ではそれを活用しつつ普通の熱力学な問題です。やっていることは特に前半は面白いのですが,気体の分子運動論の問題は全て解き方が同じな上,ほぼ同じ内容が有名どころの名問の森に載っていたりします(私が持っている版,下のアフィでいう右では44問目)。そのため,京大受験生の多くにとっては見たことのある問題だったのではないかと思います。後半も断熱変化の傾きは違うという話ですが,有名どころですね。


(1)

運動エネルギーの差をとります。
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(補足)Δvx
弾性衝突なので反発係数が1より,左向きを正として’付きを衝突後とすると,
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ぶつかった後にもう一往復するともう1回ピストンにあたるので,ピストンの速さと分子の速度増加は無視できるので,
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”あ”×”い”なので,
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Δtだけvpで進むので,
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全ての方向の速さが等しいということなので,
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ボルツマン定数は1分子あたりの気体定数なので,
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”え”のエネルギー増加が運動エネルギーの増加になっているので,eとTの関係式を立てて差分を考えます。
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”き”で出てきたΔTの等式をTで割ってやります。
kyodai_2014_phy_3a_11.png


与えられているTとVの関係式にPV=nRTを代入します。
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【参考】断熱圧縮の式
”く”から微分方程式を立てて求められます。
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他の求め方としては熱力学第1法則より,
kyodai_2014_phy_3a_14.png
定積モル比熱cvは単原子分子では3/2なので,問題中の式と合致します。

(2)

問題文によるとA→BとC→Dは断熱なので熱の出入りはありません。よって,残りのB→CおよびD→Aを考えることになります。いずれも定積変化なので∆U=∆Q-P∆Vは∆U=∆Q=3R∆T/2となるため,温度が高くなるB→Cのみで熱の吸収が起こります。よって,
3R(TC-TB)/2


”こ”同様にD→Aで放出が起こり,
3R(TD-TA)/2


熱効率は吸熱と放熱の差を吸熱で割ったものになるので,
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εはVで表記されており,これを使うので,TをVで表します。”一定”をCとして,表すと,
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となり,このCはABとCDで異なることに注意して
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問1
要するに断熱だったところを等温とのことです。等温ではPV=一定で,断熱はPV5/3=一定なので,Vが増えると等温の方がゆるやかにPが減少します。よって図は,
kyodai_2014_phy_3a_1.png

のようになり,A→B'で外部からされる仕事が小さくなり,C→D'で外部にする仕事が大きくなるため,合計の正味の仕事も大きくなります(単にABCDとAB'CD'の面積比較でOKです)。この差は膨張時には吸熱し,圧縮時には放熱してそれぞれPが大きく,小さくなるためです。

問2
これも断熱と等温に注意してやります。断熱の場合は圧縮されるとTは増加するので,
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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