ひたすら受験問題を解説していくブログ
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
東京工業大学2014年数学第1問
tokodai_2014_math_q1.png

解説


割れる割れない系の基本的な解法をそのまま当てはめれば解ける問題です。(1)(2)ともに色々なアプローチの仕方があるのではないでしょうか。とりあえず別解答を1個ずつ置いておきます。

(1)
anに関しては各要素(k-1)k(k+1)は連続する3つの整数なので,どれかは3で割れ,連続する2つの整数を含むので2で割れます。よって,6でも割れます。
したがって,anは6の倍数の和を6で割ったものなので整数です。

一方,bnはnが3以上の奇数ということなのでn=2m+1(m≧1の整数)を代入してやります。
tokodai_2014_math_a1_1.png
となり,分子は連続する2つの整数なので2の倍数となり,bnは整数です。

【(1)別解答】
anを計算して求めます。
tokodai_2014_math_a1_2.png
連続する4つの整数の積なので,4の倍数,4では割れない2の倍数,3の倍数を含みます。よって,24の倍数になり,anは整数です。

(2)
nの問題なのでとりあえず数学的帰納法です。
(i)n=3のとき
tokodai_2014_math_a1_3.png
となり4の倍数です。

(ii)
n=mを仮定した場合,n=m+2のときの成立を示すためには,それらの差
tokodai_2014_math_a1_4.png
が4の倍数であることが同値になります(差で考える方がいいのはanが級数だからです)。mが奇数であることを使うためにm=2k+1を代入します。
tokodai_2014_math_a1_5.png
となり,これは(1)から整数であり,かつ,k(k+1)は連続する2数なので2の倍数となり,4の倍数であるといえます。

(i)(ii)より,すべての3以上の奇数において4の倍数となります。

【参考】
1/3が気になる場合は
tokodai_2014_math_a1_6.png
とでもしてやれば{}の前半は当然3の倍数,後半は{}の外とかけて連続する3数になります(このように無理やり連続する数になるように変形する手法は良く使う手なのでマスターしておきたいです)。

【(2)別解答】
(1)の別解答と同様に,anを計算したものでいきます。途中でn=2k+1を代入しています。
tokodai_2014_math_a1_7.png

連続する3数の積は6の倍数なので,4の倍数となります。

東工大2014年数学解説に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/447-9eccd521
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。