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東京工業大学2014年数学第2問
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解説


平均値の定理のcがどの程度になるかに関する問題で,(2)で求めるt/aより必ず大きくなるという問題ですね。とりあえずこれ系の不等式の基本手順を繰り返すだけの問題で,難易度は簡単目だと思います。

(1)
まず,(1)も(2)も似たようなことをやらされるので,一般のaで計算しておくと,*に同値な不等式はt>0より,
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となり,この左辺をf(t)とすると,f(0)=1-1-0・1=0となります。あとは微分がどうなるかで判断していくことになるので,
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とあらかじめ求めておきます。

さて,こういう問題は必要条件,つまり,こうだったら楽勝なのにな,という妄想から検討するのが定石なので,f'(t)>0を言えばいいのですが,ぱっと見では分かりそうにありません。どこが分からないかって言うと,()の部分が分からないことが困っている要因なので,ここをg(t)とでもおいて,g(t)>0を示すことになります(()前の指数は常に0より大きいです)。同じようなことをすればいいので,g(0)=1-1-0=0,
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となり,a=2を代入すれば,
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となるので,g(0)とあわせればg(t)>0となり,f'(t)>0がいえます。f(0)なので,f(t)>0が示せ,*が成立します。

(2)
とりあえず,これもそれ以外の場合がないかは置いておいて,自信を持って成立しないaにはどのようなものがあるかで検討します。f(0)=0なのでf'(0)<0なら0の近傍ではf(t)<0となります。こうなるaはg'(0)<0なので,
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です。それ以外のa≧2では
tokodai_2014_math_a2_7.png
という感じに示せています。したがって,a≧2です。

【参考】優関数的な考え方
もとの*の左辺はaに無関係,右辺はaの単調減少関数なので,aを増加させればより簡単に成立することが分かります。a=2で成立しているならa>2でも成立するということですね(f(t)の形で言えば,a>2ならばa=2よりも常に大きい関数(優関数)になっています)。したがって本問(2)はa<2でどうなるのか検討することがメインになります。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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