ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京工業大学2014年数学第3問
tokodai_2014_math_q3.png

解説


自分が解いてみたときの感想はただ、ただ、めんどくさいというものでした。こういうものは遷移の仕方をしっかりと押さえて,それを漸化式にしてやるという基本を徹底すれば解けます。

まず,A,B,Cで点がどう動くかを考えます。点(x,y)に各操作を加えると,
tokodai_2014_math_a3_2.png
となります。x,yの入れ替えと符号がつくだけなので,(0,1)スタートならば,(0,±1),(±1,0)の四点にしか行きません。図にしてやれば,
tokodai_2014_math_a3_1.png
となります。

(1)
まず,n=1の場合からいきます。図の上からはじめるので,Cとなる時のみ(0,1)になり,p1=1/3です。一方,点(0,-1)に1回で行く経路は存在しないので,q1=0です。

次にn=2の場合ですが,1回目にCに滞在したものはCで(0,1)にいれますが,(0,-1)にはいけません。1回目で左右(±1,0)に移動したものは(0,1)にも(0,-1)にも1/3でいけます。よって,
p2=3×1/3×1/3=1/3
q2=2×1/3×1/3=2/9

(2)
図から漸化式を立てます。(±1,0)にいる確率をrnとすると(±でまとめないで分けてrとsで表してもいいですが,図を見て分かる通り,全ての操作が1/3の確率なので2点は全く同一だと扱えます),
tokodai_2014_math_a3_3.png
最後のはお決まりのです。第1式と第2式の差から,
tokodai_2014_math_a3_4.png
足す方はrnが残るので,第4式で消してあげて,
tokodai_2014_math_a3_5.png

(3)
(2)で求めた漸化式を解いて連立します(解く際には(1)でn=1求めていますが,n=0に拡張してもいいです)。まず解くと,
tokodai_2014_math_a3_6.png
足して2で割ると,
tokodai_2014_math_a3_7.png

【別解答】
(2)のようにやらなくてもrnを求めていけます。第3式と第4式を連立して,p,qを消すと,
tokodai_2014_math_a3_8.png
という感じに変形して求めることができます。ポイントは∴以降の変換が典型二種類の混在になっているので、影響を与えない方の典型パターンから順に当てはめて変形していっていることでしょうか。まとまりごとに別の数列で置き換えていないのは単に面倒なだけですので,適当に脳内補完していただけると幸いです。

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