ひたすら受験問題を解説していくブログ
慶應大学理工学部2013年数学第4問
keio_riko_4q.png
難関大受験生なら誘導無でも解いて欲しいところです。というか誘導が(3)のエレガントな解法ではなかったりします。なので(3)別解として行列とバームクーヘン積分による解法を載せておきます。

解答

解法のポイント
  • 回転体は軸からの距離を求めて断面(円)の面積を出し、積分する(誘導がまさにそれ)
  • 軸周りの回転は積分の変数として軸の長さを積分の変数に取る
(1)y=xと直交ならy=-x+cとおける。y軸との交点をMとすると、△OPMはPをPを直角とする直角二等辺三角形になるので、cは切片、すなわち斜辺なのでr√2となる。よって、l:y=-x+r√2 (二)。
y=xと放物線の交点を聞かれているので、x2/√2 =xこの0以外の解は、√2となる。r=x√2なので、2がヌ。

(2)直線lと放物線の交点を聞かれているので、
keio_riko_4a-1.png
でx座標が求まり、Px,Qxをそれぞれのx座標とすれば差をとって√2をかければPQになるので、
keio_riko_4a-2.png
がネとなる。

(3)ひたすら計算します。途中で√内が複雑なので4r+1=sとおいて置換積分しています。
keio_riko_4a-3.png

(3)別解答

解法のポイント
  • 斜めってるなら正せばいい
  • 軸周りの回転体はバームクーヘン積分を使う
  • 2次関数が直線に切り取られる長さは√Dに等しくなる
早速まわしてみます。さながら第1問のようにx,yを45度回転させたs,t座標に移します。逆を言うとs,tから-45度回転させたことになるので
keio_riko_4a-4.png
y=x2/√2に代入して2√2かけると
keio_riko_4a-5.png
になります(s軸方向にまかれたバームクーヘンで積分するのでtの2次式の形にまとめています)。
これをt軸に平行な直線できってやると、その解の差は√Dになるので、
keio_riko_4a-6.png
になります(本来はs=kとおいてkで表すべき?)。

これをバームクーヘン積分します。公式はy軸周りの回転体の場合2π∫xydxでしたね(2πxyが円柱の表面積でそれに微小な幅であるdxをかけて和をとっている(積分している)イメージ。回転体を薄い膜にばらして体積を求めるので通称バームクーヘン積分といいます)
keio_riko_4a-7.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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