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東京工業大学2014年数学第4問
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解説


典型問題ですが(3)が少し計算が面倒でしょうかという感じです。回転による座標変換は行列だろうが複素平面だろうがしっかり対応できるようにしておきたいところです。

(1)
行列で(t,s)を45°回転させると,
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(2)
つまり,xとyがともに1つに定まるようなy=aなので,条件を緩和する,すなわち必要条件で考えれば,yが1つに定まるy=aです。よって,
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なので,この判別式は0になります。
tokodai_2014_math_a4_4.png
このとき,解tも一つに決まり,xにそのtを代入すればxも一つに決まります。よって,a=-1/8です。

【(2)別解答1】変換前の座標で考える
逆の操作を考えれば,x軸,y軸はそれぞれt軸,s軸を-45°回転させた軸で,また,y=aも同様に-45°すればt,s座標に移せます。つまり図にすると(y=aは点線です),
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y=aは当然s=-t+a√2なので,2次関数と連立させれば本解答と同値な式になります。

【(2)別解答2】x,yの関係式を求める
x,yの関係式を求めてしまってもいいです。(1)を上手く変形しても当然求められますし,より一般的にはs,tをx,yで表して,s,tの関係式に代入してやります。
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となり,y=aでただ一つの解を持つ場合は(判別式でもいいです),a=-1/8となります。

(3)
y軸周りの回転体なので,まずはxとyで式を立て,その後tに変換していきます(Rは右側曲線,Lは左側曲線です)。
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【(3)別解答1】バームクーヘン(別に簡単になりません。)
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【(3)別解答2】tを介さないバームクーヘン(別に簡単になりません。)
普通のバームクーヘンにおいてx,yの関係式((2)別解答2参照)をyについて解いて代入,
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【(3)別解答3】無理やりパップスギュルダン
必要なのは回転軸からの距離と,面積です。まず簡単な方の面積は,
tokodai_2014_math_a4_9.png
次に距離ですが,t,s座標系の重心から求めます。まず,t方向の重心はただの2次関数(上で積分した関数)と同値なので,tG=1/2√2です。一方,s方向はt軸周りの回転体からパップスギュルダンで逆算します。
tokodai_2014_math_a4_10.png
y軸からの距離が分かったので,パップスギュルダンに代入します。
tokodai_2014_math_a4_11.png


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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