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東京工業大学2014年数学第5問
tokodai_2014_math_q5.png

解説


言われていることを淡々とこなしていく感じの問題です。微積や数列と総合的な問題で,それぞれやっていることは期末テストに毛が生えたレベルですが,まとまると一応本年の中ではそれなりの難易度です。

(1)
初めから一般で求めてもいいのですが,流れに沿って普通にk=1で求めます。接線l1を求めます(接線にも添え字で番号をつけることとします)。
tokodai_2014_math_a5_1.png
Cからこの直線を引いて解の範囲で積分します(接点が重解なので,他の交点は1つしかありません。また,どう因数分解できるかは(x-1)で2回割れるのですぐ求まります。)
tokodai_2014_math_a5_2.png

(2)
直接求めるか漸化式かの2択ですが,明らかに一つ前の値に依存しているので漸化式でしょう。xk-1を所与だとしてxkを求めます。(1)と同じ手順です。接線を求めると
tokodai_2014_math_a5_3_0.png
これとCを連立させますが,このとき何で割れるかは明らかです。
tokodai_2014_math_a5_3.png
ここでxk=-1/3となる場合,
tokodai_2014_math_a5_4.png
となるため,x0も-1/3となってしまい矛盾します。さて,あとはこの漸化式を解くだけです。
tokodai_2014_math_a5_5.png

(3)
こういう聞かれ方の問題はSkが求まればただ代入するだけ,求まらなければレベルが少し上がって上手くはさみうつことになるでしょう。今回は前者で,まずSkをもとめてΣに代入します(積分の計算は無理やり偶関数,奇関数でやっていますが,普通にそのままやっても,xk-1だけずらしてもいいでしょう)。
tokodai_2014_math_a5_6.png



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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