ひたすら受験問題を解説していくブログ
慶應大学理工学部2013年数学第5問
keio_riko_5q.png
有名どころの問題です。(1)は帰納法という誘導無でもとって欲しいし、(2)の十分条件も簡単です。(3)は使っていいのか疑問ですが、別解もあげときます。

解答

解法のポイント
  • 色々変わって大変なものは周期性を見つける
  • 計算は上手く消えるように工夫する

(1)数学的帰納法を使えとあるので、n=1とn=kを仮定してn=k+1を証明します。
(i)n=1のとき
z1=cosθ+isinθよってx1=cosθ、y1=sinθとなっていて成立している。

(ii)n≧2のとき
n=kのときに成立していると仮定すると、zk=cos(kθ)+isin(kθ)が成立する。
証明すべきn=k+1の式はzk+1=cos{(k+1)θ}+isin{(k+1)θ}なので、左辺を統一させる操作でn=kの式を処理するにはzを掛ければいいので、zzk=(cosθ+isinθ){cos(kθ)+isin(kθ)}が成立する。
加法定理を思い出してもらいつつ計算すると
={cosθcos(kθ)-sinθsin(kθ)}+i{sinθcos(kθ)+cosθsin(kθ)}=cos{(k+1)θ}+isin{(k+1)θ}
となるので、xk+1=cos{(k+1)θ}、yk+1=sin{(k+1)θ}となり、n=k+1でも成立する。
(i)(ii)よりすべての自然数nでも成立する。

(2)
実数と同じでr<1で収束だったりします。
(i)十分条件(r<1ならば収束)
(1)よりzn=rn{cos(nθ)+isin(nθ)}となりますが、|cos(nθ)|,|sin(nθ)|≦1なので、|xn|,|yn|≦rnとなりn→∞でrn→0なのでxnもynも0に収束します。

(ii)必要条件(収束ならばr<1)
cosθとsinθはθ=π/4で対称なので、常に一方の絶対値が1/√2以上になります。つまりcos(nθ)もしくはsin(nθ)の一方の絶対値が常に1/√2以上です。
両方収束するということは0≦lim rn/√2≦lim max(|xn|,|yn|)=0となるので,
rn/√2も0に収束しなければなりません。よってr<1になります(絶対値でやりましたが、xnとynの二乗の和がr2nになることを利用してもいいと思います)。

(3)
(1)(2)の流れから考えて極形式にするしかありませんので、
keio_riko_5a-1.png
となりますが、cosとsin部の値がひっきりなしに変わるので困ってしまいます。そこでnが6ごとに周期的に繰り返すことを利用すると
keio_riko_5a-2.png
とおいて計算してやれば
keio_riko_5a-3.png
のようにもとまります。yも同様にやると(5√3)/42になります。

(3)別解答

解法のポイント
  • 等比級数の和は複素数でも成立する

keio_riko_5a-4.png
これの実部がハなので1/14、虚部がヒなので(5√3)/42が答えです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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