ひたすら受験問題を解説していくブログ
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負の数の累乗
よくこのサイトの解答を参考にさせて頂いている高校生です。次の問題を解説してください。
qa_m_3_1.png

【解説】
関数の拡張に関する問題で,大学の内容で言う複素関数論に1ミリほど足を突っ込んだ内容です。

まずは,問題の関数を次のように考えてみましょう。きっと,本問において困っていることは負の数の累乗であって,指数部分が負であるとかは何の問題もないと考えます(ただ,分母にくるだけなので)。
qa_m_3_2.png

この値は例えばx=2のときには純虚数になりますし,x=3のときも複素数になります(要は3乗して-aになるものなので,例えば偏角がπ/3のものです)。そのため,他のものも複素数で表せると考えて解いていきます(証明無しにド・モアブルの定理を実数乗まで拡張していますが・・・)。
qa_m_3_3.png

解を実数の範囲で考えた場合,(2k-1)/xが整数でなければならないので,x=奇数/自然数という形になります。なので,結論は「だけではなく,x=負の奇数/自然数において定義される」となりました。

なお,解が複素数の範囲で考えた場合は,先ほど求めたものをそのまま代入するだけで,ド・モアブルの拡張をどこまで認めるかによってその拡張した範囲までのxで成立し,いずれも複素数です。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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