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慶應大学医学部2014年数学第1問
keio_med_2014_math_q1.png

解説


内容としては典型レベルなので,如何に早く処理して次の大問進むかの争いでしょう。

(1)
(あ) 125
2枚以上ということは2枚か3枚です。偶数6枚,奇数7枚なので,
6C2×7+6C3=125

【別解答】
13が入るパターンと13が入らないパターンで考えます。偶数の出る枚数は0,1,2,3なので,13を除くと全通りの半分です。つまり,12C3/2=110です。
13が入るパターンでは,残り2枚とも偶数です。よって,6C2=15です。
合計125。

(い) 166
”少なくとも”とあればその逆を考えることは定石です。全通りから10以下のみの組み合わせを引けばいいので,
13C310C3=166

(2)
(う)-4 (え)-1
整数係数なのでルートの符号だけが変わった解2-√5を持ちます。解と係数の関係より,
a1=-(2+√5+2-√5)=-4
b1=(2+√5)(2-√5)=4-5=-1

【別解答】
αを変形してから2乗すれば
α-2=√5
⇒α2-4α-1=0
となり,αはこの解なので,-4と-1であることが分かります。

(お)(-1)n
整数係数よりルートの符号のみが異なる解をもちます。(2+√5)nが解なので,(2-√5)nも解です。これはルート部分が偶数乗されると有理数になりプラマイは打ち消され,ルート部分が奇数乗ならばルートは残ってプラマイも残るからです。
bn=(2+√5)n(2-√5)n=b1n=(-1)n

(か)2(-1)n
解と係数より,

an=-(2+√5)n-(2-√5)n

なので,右辺第1項をγ,第2項をδとすると,

an2+a2n=(γ+δ)2-γ2-δ2=2γδ=2bn=2(-1)n

(3)
普通に積分してmで微分します(まとめて部分積分しています)。
keio_med_2014_math_a1_1.png
また,A’’=1>0かつA(m)は連続なのでm=2で最小値になります。代入すると,
keio_med_2014_math_a1_2.png

【参考】微分と積分の順序交換(大学生向け)
被積分関数は連続かつmで偏微分(m以外の文字xは定数と考えてしまう微分)可能です。よって積分と微分の交換則が成立します。(き)だけの問題ならば
keio_med_2014_math_a1_3.png
とした方が早いです。

[簡単な証明]
被積分関数をf(x,m)とします。
keio_med_2014_math_a1_4.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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