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慶應大学医学部2014年数学第2問
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解説


慶應医学部にありがちな非対称な確率の問題です。しっかり遷移を式に立てて漸化式を立てること,全部の確率の和=1になるという式を忘れないことが重要です。(お)(き)あたりは合否を分ける問題でしょう。そんな(き)も,少し意外な形を聞いてきているので戸惑う人もいそうですが定石どおり処理していけばいけます。

(1)
普通に遷移図でも書いて漸化式です。当たり前のことを当たり前にできるのは大事です。
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(あ)
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(い)
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(2)
(う)
遷移図の左がないだけなので,pを消してやります。
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これは(い)と同様で,初期のq0が0から1に変わるだけなので,
keio_med_2014_math_a2_4.png

(3)
(3-1)
(え)
Dが2回目に2の点に来るためには2回目で移動しなければならないので,1回目でCが2の点に来ている必要があります。またCはその後2に居座ったままです。
1/4×1/4×3/4=3/64

(お)
色々考えていくとCが何回目に移動したかによって場合わけが必要そうです。Cがk回目に初めて移動したとすると,Cがn回目に2にいる確率は,pk-1・1/4・q’n-kです。
一方,Dはn-k回の移動で2にいるので,qn-kとなります。したがって,これらを掛けてkについてシグマを取ると,
keio_med_2014_math_a2_5.png

(3-2)
(か)
移動していないということです。よって3/4です。

(き)
(お)と同じ手法で求めてしまいます。Cがk回目に初めて移動したとすると,Cがn回目に2にいない確率は,pk-1・1/4・(1-q’n-k)です。
一方,Dはn-k回の移動で2にないので,(1-qn-k)となります。したがって,これらを掛けてkについてシグマを取ります,
keio_med_2014_math_a2_8.png
これにCが1回も移動しないものを加えればいいので,
keio_med_2014_math_a2_9.png

【(き)別解答】形から攻めてみる
見るからに怪しい形です。わざわざsではなくs-rを求めさせている以上何か意味がありそうなので,その意味を考えるかとりあえず形を作ってみるかでしょう。でも意味を考えてみても私には良くわからなかったので,形で攻めます。
sとrの遷移を考えます(ある程度複雑になると図にする方が分かりにくいので図にはしません)。考えられる位置の組合せは,(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)です。
これらは,(1,1)+(1,3)+(3,3)がsnで,(2,2)がrn,(1,2)+(2,3)がそれ以外の1-rn-snです。また,(1,1)は一度も動いていないのでpnとなります。

以下は左辺がn+1で右辺がnですが省略しています。
keio_med_2014_math_a2_6.png
さて,s-rの形を作ります。(1,1)+(1,3)+(3,3)-(2,2)なので,
keio_med_2014_math_a2_7.png

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