ひたすら受験問題を解説していくブログ
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
慶應大学医学部2014年数学第4問
keio_med_2014_math_q4.png

解説


出てくる図形はかなり有名なもので,少し見慣れないsin表記ですが,(3)までの難易度は並です。(4)の”き”は難しめで,sinを近似で表して上手いこと処理できるかが鍵です。

(1)

内接円といえば,ぐるぐるまわしって感じでものか,面積を二通りで表すことが良くありがちです。
∠BAC=2θとされていることに注意して,下図のようにぐるぐるまわしでいくと(今回は一周しませんが),
keio_med_2014_math_a4_1.png
keio_med_2014_math_a4_3.png

【あ別解答1】相似な三角形
ADO∽AEBです。よって,
keio_med_2014_math_a4_4.png

【あ別解答2】面積
keio_med_2014_math_a4_5.png


最大値なので微分して0になる極値を考えます。例によってsinθをs表記します。式変換時には0<θ<π/2に注意です。
keio_med_2014_math_a4_6.png

これと境界の値を比較するか,概形を考えます。今回はθ=π/2のときが面倒なので(別解答の形なら一瞬で0です。)導関数の正負を考えれば,dsinθ/dθ>0なので,最高次数が正の三次関数のまん中の解は正から負に変わる点です。
よって,極大値であり,考えている範囲で連続なので,最大値です。

さて,このΣをとって行きますが,計算を簡略化するためにsのままで計算します。いうまでもなく|s|<1なのは利用します。
keio_med_2014_math_a4_7.png

(2)う
要するに図のようであり,マトリョーシカな感じです。新しい二等辺三角形の相似比がRの相似比になります。
keio_med_2014_math_a4_2.png

高さで考えます(計算はあ別解答の形の方が楽だと思います)。
keio_med_2014_math_a4_8.png
この構造はnとn+1でも同じなので,
keio_med_2014_math_a4_9.png

(3)

左辺が対数をとって微分しているだけなので,その通りにしてやります(三角関数は一文字で表記)。
keio_med_2014_math_a4_10.png


logが単調関数なので”=0”で符号を考えるだけですが,考えている範囲で-sinθcosθ<0なので,g(sinθ)の正負を逆転して考えることになります。
keio_med_2014_math_a4_11.png

これらの解が小さい方は-1より小さく,大きい方の解は0より大きく1より小さくなります(後者のみ載せておきます)。
keio_med_2014_math_a4_12.png
となり,同値変換が真となります。このこと,および,dsinθ/dθ>0であるので,大きい方の解でg(sinθ)は負から正になり,Rnの導関数はその逆の正から負になり,極大値となります。連続性より,この極大値が最大値になるので,
keio_med_2014_math_a4_13.png

(4)

そのまま書き出してやれば,
keio_med_2014_math_a4_14.png
√がある不定形なので有理化でしょう。
keio_med_2014_math_a4_15.png


まあ普通にSnを求めてみます。
keio_med_2014_math_a4_16.png
”か”の結果に置き換えても変わらないので,
keio_med_2014_math_a4_17.png

【き別解答】極限の値による置き換えを使わずに。
nに統一するかsinに統一するかで考えますが,sinに統一した方が楽です。
keio_med_2014_math_a4_18.png
として代入します。
keio_med_2014_math_a4_19.png

慶應医学部2014年数学に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
(う)の解説の一行目で、「新しい二等辺三角形の相似比がRの相似比になる事が書かれていますが、それはなぜでしょうか。教えていただけるとありがたいです。
2014/12/11(木) 14:50:13 | URL | たろ #- [ 編集 ]
二等辺三角形と円をまとめて考えた図形が相似になっているからです(元々AB=1で考えていますが,AB=tでも同じ図形になって,円の半径もt倍になります。内接円の半径=三角形の面積÷(2×各辺の和)なので,面積,つまりtの2乗倍を,各辺の長さ,つまりt倍で割ったものになるため,内接円の半径はt倍です)。
2014/12/12(金) 10:43:19 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
詳しい解説ありがとうございます。理解することができました。
2014/12/12(金) 12:31:35 | URL | たろ #- [ 編集 ]
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/466-ff70c2b7
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。