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大阪大学2014年数学(挑戦枠)第1問
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解説

なんかそのまま大学の教科書とかに載っていそうな内容です。特に工夫もなく,これでいけたら楽なのにな的な形から入れていくだけの作業です。ただ,普段指導していて思いますが,その楽なのになという妄想を実際に手を動かせない受験生は多いです。

簡単な形は二つの関数の和や差です。微分したものが同じになることを考えれば差の方が消えてよさそうです(どっちもためしてみればいいです)。他の原始関数をG(x)とでもして,H(x)=G(x)-F(x)とします。平均値の定理より,

H(x)-H(p)=H'(c)(x-p)=(G'(c)-F'(c))(x-p)=(f(c)-f(c))(x-p)=0   (cはxとpの間の数)
∴G(x)-F(x)-G(p)+F(p)=0⇔G(x)=F(x)+G(p)-F(p)
G(p)-F(p)=Cとすれば終わりです。

【参考】コーシーの平均値の定理
分母が0にならなければ,
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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