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大阪大学2014年数学(挑戦枠)第2問
handai_2014_mc_2q.png

解説


本問もどこかで見たことあるような形で,素数を公比とする等比数列同士の積で全ての整数を表すことは有名どころ過ぎます(正の約数の和が乗法的関数であること,つまりσ(mn)=σ(m)σ(n)であることの証明とかで見る形ですね)。まあ見たことなくても気づいて欲しいところです。(3)が少し難しめでしょうか。

(1)
理想は左辺が全部右辺に含まれると楽勝です。”×”でつながれた各部分は,素数の逆数を公比とする等比数列のn+1項目までの和です。
handai_2014_mc_2a_1.png
また,pn,p1n>nかつなので,nまでの数は素因数分解するとp1からpnのn乗未満の積で表せます。左辺にはpnがないので,右辺が左辺を含み,逆は含まないので,左辺<右辺が成立します。

(2)
形的に(1)の分母ですし,logの和なので積だと捉えると,(1)の両辺のlogをとってみるのが自然な流れでしょう。
handai_2014_mc_2a_2.png
左辺がn→∞で無限に発散すればいいので,左辺のlogの中が無限になることを示します(もはや常識レベルの無限級数になりますが)。単調な無限級数なので積分ではさみます(∞になる予定なので,下だけでOKです)。
handai_2014_mc_2a_3.png

(3)
私の第1感は形を作ってみることでしたが,無理だったので(参考参照),各項の対応が取れたら楽勝という戦法に打って出ました。つまり,(2)の各項<(3)の各項ならそれで終わりです(積分の不等式で優関数を考えることと同じですね)。
handai_2014_mc_2a_4.png
あれえええええええええ,これだと大小関係が逆になってしまいますよね。こういうときは正の定数をかけてやるのが,まずやるべき定石です。つまり正の定数Mをかけて,-log(1-x)<Mxとなれば,題意は示せるということです(もしxの和が収束するならば,Mxの和も収束します)。2以上をかけて,
handai_2014_mc_2a_5.png

【参考】形を作ってみる
(2)のlogを掛け算して,
handai_2014_mc_2a_6.png
これって,第2項が目的のもの,第3項以降は余計なものですが,(2)から左辺が0に収束するので右辺も・・・とか考えたのですが,私には無理そうなので,誰かにバトンタッチします。


【参考】素数の密度について
1/kの和から分母に1を含む項を除いたものを考えてみると,素数の密度がなかなか高いことが分かります。つまり,
handai_2014_mc_2a_7.png
という和です。この級数において,分母がk桁になっているものの個数は,8×9k-1です。そして,k桁となる最初のものは,1/2×10-(k-1)であり,その桁数のいかなる項よりも大きい値になります。よって,次のような級数は先ほど考えた級数よりも大きい値になります。
handai_2014_mc_2a_8.png
n桁になっているものまでの和をSnとでもすれば,
handai_2014_mc_2a_9.png
となります。丁度n桁すべてまでの切りがよいところ以外も,和の単調増加性を考慮すれば同じ値に収束し,40となることがわかります。以上から元の級数も当然40未満に収束し,たった1文字を禁止にするよりも素数は多く存在することになります(1禁止の級数は桁が大きくなってくる後半において密度がガクッとさがることが大きいでしょう)。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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