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東京医科歯科大学2014年数学第1問
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満たさないものを考えさせていたり,f(n)とg(n)と二つ出てきている辺りがヒントになるんでしょうか。

(1)
正直(2)とか(3)とか求めてから求めたいところです(腕に自信があれば設問の順番に解かなくてもいいとおもいます。)。
まずf(4)ですが,色々試してみるとそれまでに1が出てきているか否かで並べられる数字が変わってきます(1が出るまでは2か3,であとは1か3変わりません)。場合わけをすると,
1が出ない 24
1が初めに出る 23
1が2回目に出る 2×22
1が3回目に出る 22×2
1が4回目に出る 23
よって,f(4)=48

次にg(4)ですが,余事象は123が並ぶということから制約が強いため考えやすいです。場合わけをすると,
123○
12○3
1○23
○123
の可能性があります。重複に注意するため,上に書いた数字は初めて条件に関与する数字だとすると,
123○は何がはいってもいいので,3通り。
12○3は3以外が入るので,2通り。
1○23は2以外が入るので,2通り。
○123は1以外が入るので,2通り。
合計9通りです。全通りは34=81なので,72が答えです。

【(1)別解答】
f(4)も上記のg(4)と同様に考えられます。条件に関与する12の場所の組合せは,
12○△,1○2△,1○△2,○12△,○1△2,○△12
です。それぞれ順に3×3,2×3,2×2,2×3,2×2,2×2であり合計33です。81-33=48

(2)
(1)で考えたように1が出る位置で考えれば,1を含まないものだけ2nでそれ以外は2n-1になります(1が初めて出る前もあとも各位置が2通りです)。よって,
f(n)=2n+2n-1×n=2n-1(2+n)

【(2)別解答1】問題構造の再利用
本問題はg(n)を求めるのにその前段階のf(n)を活用しています。ならば,h(n)を1が一回も出ないものとして考えてやればg(n)とf(n)の関係と同様にf(n)とh(n)の関係を定められます。
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【(2)別解答2】(1)別解答の方法(余事象を直接求める方法)
余事象で考えます。条件に初めて関与する1と2を考えて,1の左は1箇所ごとに2通り,1から2の間は2通り,2の右は3通りです。よって,1がkで初めて,1の後の2がmで初めて出るとすると
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(Σは順序の入れ替えでやっていますが,そのまま等差×等比にしてもOKです)

(3)
漸化式を立てる際にg(n)から考えますが,g(n)を一様に扱えません。g(n)をf(n)に含まれるか否かで場合わけします。含まれる場合は何が出てもOKなので3通り,含まれない場合は既に1,2の並びは出ているので,3が出ないこと,つまり1,2の2通りになります。
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(4)
機械的に解くだけです。少し見慣れませんが,指数のみならよく見ますし,gの係数の指数乗で割ることは常套手段です(ほぼ無条件で階差数列に持ち込めるため)。
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【(4)別解答】(1)別解答の方法(余事象を直接求める方法)
f(n)の時と同様に考えれば,1が出るまでは2通り,次に2が出るまでには2通り,更に3が出るまでには2通り,3以降は3通りです。結局のところ,初めての1がk回目,次の2がm回目,その次の3がp回目に出るとすると,
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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