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東京医科歯科大学2014年数学第2問
ikashika_2014_math_q2.png

解説


立体を思い描いてもいいのですが,3次元なんて特殊技能がないと無理なので想像できなくても処理できるようになりたいです。そんなときはベクトルは有用なので(2次元も3次元も同じ形であることが多い),詰まったらベクトルで考えるといいかもしれませんね。

(1)
角度は指定されていますが,一般の角度で言っても難易度は変わりません。xz平面と言うことはy=0です。各辺の内分点でy=0になるものを探してやります。
AB:中点で(0,0,sinθ)でPとする
AC:中点で(cosθ,0,0)でQとする
AD:y成分が同一なのでそのような点はありません。
BC:y成分が同一なのでそのような点はありません。
BD:中点で(-cosθ,0,0)でRとする
CD:中点で(0,0,-sinθ)でSとする

出てきた4点の内側になるので,直交する対角線の積÷2で面積が出ます(x軸で二つの三角形に分けている感じです)。
S(θ)=2sinθ×2cosθ÷2=sin2θ
∴S(π/6)=√3/2

体積ですが,先ほど考えたPQRSは図形の対称性より,Vを半分に切っています。また,その半分は考えたPQRSを底面としてAを頂点とする四角錐と,三角錐ADRS(SとRがともに中点であることからV/4の体積)となります。したがって,PQRSがxz平面上にあってAとの距離がAのy座標になることに注意すれば,

A-PQRS=1/3×S×cosθ=1/3×sin2θcosθ=V/4
⇔V(θ)=4/3×sin2θcosθ
∴V(π/6)=1

【(1)別解答1】外積によるV
外積による平行6面体の体積の公式(外積で面積の大きさで面に垂直なベクトルを出して,それと他の辺の内積をとっています)でいきますが,例によってsinはsでcosはcで略式表記です。
ikashika_2014_math_a2_1.png
これが平行6面体の符号付体積なので6で割るとVになります。
V(θ)=4/3×sin2θcosθ

【(1)別解答2】高校範囲のベクトル
単純に成分から計算すると|AC|=|AD|=2です。これらの内積も4sin2θです。よって
ikashika_2014_math_a2_2.png

次に高さを出しますが,ADCに垂直な単位ベクトルとABの内積がABのADCに垂直方向な成分になることを利用します。ADCに垂直なベクトルを求めたいので,(l,m,n)とでもすると,ACおよびADに垂直かつ長さが1なので,
ikashika_2014_math_a2_3.png
これとABの内積を取って高さを出すと,
ikashika_2014_math_a2_4.png
となるので,
ikashika_2014_math_a2_5.png

【(1)別解答3】平面の方程式の活用
AB,ADは平面の方程式lx+my+nz=0を満たします(Aを原点にとったときの平面の方程式はこう表せるので)。代入すると,
ikashika_2014_math_a2_6.png
となって別解答2と同じ式が得られます。

(参考)点と平面の距離
一般に点と平面の距離は点と直線の距離の公式において文字1つを増やしただけになります(4次元とかでも増やすだけです)。平面の方程式を
ikashika_2014_math_a2_7.png
とすれば,点(a,b,c)からの距離は
ikashika_2014_math_a2_8.png
となります。これには色々証明がありますが(ベクトルなど),ここではコーシーシュワルツの不等式を用いて考えます。求めたいものは
ikashika_2014_math_a2_9.png
の最小値です。コーシーシュワルツより,
ikashika_2014_math_a2_10.png
となり最小値が求まります。

ではこの公式でADCを通る平面とBの距離求めます。まずADCの平面を求めると(別解答で求めたl,m,nの係数でAを通るように作っています),

ikashika_2014_math_a2_11.png

となります。点Bとの間で点と平面の距離の公式を適用すれば,
ikashika_2014_math_a2_12.png


(2)
sin2θなので,0<2θ<πよりθ=π/4で最大値1です。

(3)
Vをθで微分します。
ikashika_2014_math_a2_13.png
等号成立はs=1/√3であり,sのθに対する単調増加性から,最大値だと分かります。代入すれば,
ikashika_2014_math_a2_14.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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