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東京医科歯科大学2014年数学第3問
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解説


(3)以外の解法はパッと思いついて欲しいところです。(3)にも色々な解法はあると思いますが,普通に微分してしまう方法とSが積分であることを利用した方法を載せておきました。

(1)
積分してからでもいいですが,このまま微分してしまいましょう。被積分関数の原始関数をF(x)とでもして微分します。
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更に微分して凹凸具合を調べます。
ikashika_2014_math_a3_2.png

以上から上に凸であることがわかります。f(1)=0であることに注意してグラフを描くと(積分範囲を利用して0にしています),
ikashika_2014_math_a3_12.png


(参考)
積分を計算した
ikashika_2014_math_a3_3.png
は定数部分を除くと上に凸な単調増加関数の和です。ということは微分したらともに正ですし,2階微分はともに負となり,上に凸な単調増加関数になります。問題として問われなければ微分するまでもありません。

(2)
f(1)=0,x→+∞でf(x)→+∞です。なぜならば
ikashika_2014_math_a3_2_2.png
よって,f(x)の連続性とS>0であることから,中間値の定理よりf(p)=Sとなる1<pが存在します。また,(1)より単調増加関数なので,そのようなpはただ一つに定まります。

(3)
Sは正ならば任意なので,S=f(x),p=xとして,f(x)>0,つまり,x>1において
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が成立することを示せばいいだけです。x=1を代入すると等号成立は明らかです(f(1)=0なので)。ではxで微分して考えていきます。順に,
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となります。f'(1)=1/bであることに注意するとx=1において,全て等しくなります。こういう場合はもう一度微分してやるのが定石ですね。左辺と中辺の2階微分は,
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(1)で求めたf''(x)<0より,左辺<中辺が即座にいえます。中辺<右辺はeが嫌なので(微分しても残るので),対数をとってから微分します。それぞれ,
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両方正なのは明らかなので,割ってやると,
ikashika_2014_math_a3_8.png
となるので,x=1において等しいことから中辺<右辺がいえます。

【(3)別解答】優関数による解法
Sは積分であり,Sをはさむように不等式を変形してやれば,
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被積分関数と不等式をはさんでいる定数が似ています。定数部分を範囲が同じ積分で置き換えることを考えます。まずは中辺<右辺ですが,被積分関数より常に大きい関数を考えます。また,logpが出てこないことから分母は定数だと推測できるので,被積分関数を整理して分母にaを入れてやります(積分範囲においてa>0かつp>1⇒a<uです)。
ikashika_2014_math_a3_10.png
次に左辺<中辺ですが,logが生じていることに注目し,分子を最小にするようにすれば,
ikashika_2014_math_a3_11.png
となり示せました。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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