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早稲田大学理工学部2014年数学第1問
waseda_riko_2014_q1.png

解説


本年の受験生は複素数平面をやっていませんが,複素数平面を学んでいる受験生にはもう見るからにな問題です。また,明らかに数の大きい系問題(本問の2014など)は繰り返しか数列になることがほとんどなので,良くわからなくてもいくつか書いてみればどうとでもなります。また,複素数でもΣの公式が使えることを知っていればそれを活用してもいいでしょう。

(1)
αがz3-1=(z-1)(1+z+z2)=0の解であることから,1+α+α2=0となります(もし思いつかなければ,3mときているので,3単位で繰り返しが想定されます。実際に計算してみていってください)。
また,3項ずつ組を作っていけばαk(1+α+α2)とかけるので,すべての3つ組みで0です。
よって,その和であるS3mも0となります。


(参考)
複素数平面を履修していれば,αは長さ1偏角π/3なのでくるくる回るだけで繰り返しなのは明らかです。

【(1)別解答】
等比数列の和の公式をそのまま適用します。
waseda_riko_2014_a1_1.png

(2)
この形は複素数でなければ扱ったことがあるでしょう。なので,全く同じ手法を使いましょう。αをかけて引けばいいので,
waseda_riko_2014_a1_2.png

【(2)別解答】和の順序交換
waseda_riko_2014_a1_3.png

(3)
切りのいいところまで(2)を使ってやります。2014≡1(mod 3)なので,
waseda_riko_2014_a1_4.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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