ひたすら受験問題を解説していくブログ
早稲田大学理工学部2013年数学第2問
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あれ、慶應で似たような問題を・・・なので、慶應の問題を利用した解き方もできたりするので、(1)の別解としてあげておきます。難易度は(4)が少し悩むかもしれませんが(3)があから様に誘導です。理由は解答で述べます。
あと、この問題からsinθ=1/5を満たすθはπ無理数倍であることがわかったりします。
(4)だけとか「sinθ=1/5を満たすθはπ無理数倍であることを示せ」だとかが誘導無だったら東大とかで出ても結構な割合の合格者が解けないレベルな気がします(どちらかというと京大っぽい出題ですが)。もちろんアレな人たちは何の苦もなく解きますが・・・

解答

解法のポイント
  • すべてのnで成立→数学的帰納法、背理法(はじめて成立しないnを仮定して矛盾)
  • 漸化式的なものの帰納法の場合、ak+1などをakなどで表してやる(漸化式じゃないものは不等号の一方を同じにする操作を考える)
  • ことが誘導設問は利用する

(1)数学的帰納法っぽいです。nだし。
(i)n=1のとき
z=1+(2√6)iなので、1+(2√6)2=25=52となり成立する。
(i)nが2以降
n=k≧2で成立すると仮定するとak2+bk2=52kが成り立つ。ポイントにあるようにak+1などをakで表してやりたいので、ak+1が出てくるzk+1とakが出てくるzkの関係を見てみます。単にzが一回余分にかかっているだけです。
よってzzk={1+(2√6)i}(ak+bki)={ak-(2√6)bk}+{bk+(2√6)ak}i=ak+1+bk+1iとなります。
よって、ak+1=ak-(2√6)bk、bk+1=bk+(2√6)akということです。
二乗して和をとるとak+12+bk+12={ak-(2√6)bk}2+{bk+(2√6)ak}2=25(ak2+bk2)=52(k+1)となり、k+1でも成立します。

(i)(ii)よりすべての自然数nにおいて成立します。

(2)(1)で求めたk+1あらためn+1とnの関係式からbを消します。求めるべき式の左辺がn+2なので、それに合わせます。
an+2=an+1-(2√6)bn+1となりますが、じゃまな奴はbn+1なのでこいつを処理します。
an+1-(2√6)bn+1=an+1-(2√6)bn-24an)とするとbnが出てきますが、
an+1=an-(2√6)bnすなわち-(2√6)bn=an+1-anだったので代入すると
an+2=2an+1-25anとなります。

(3)これも(2)を使えといわれている問題です。じゃなきゃ(2)求める必要ないし。背理法でいきます。どんなnでも~じゃないとかは背理法の可能性大です。
どこかのnで5の倍数となると仮定して矛盾を突きます。はじめて5の倍数となるnをk+2とします(n≧3)。
an+2=2an+1-25anよりa2とa1が整数なら、すべてのanが整数となります。a1=1、a2=-23なので整数かつ5の倍数ではありません(n=1,2で5の倍数でない①)。
ak+2=2ak+1-25akの左辺は5の倍数で、右辺の2項目も5の倍数なので、1項目も5の倍数になります。2と5は互いの素なので、ak+1は5の倍数となり、5の倍数となるはじめてのnがk+2という仮定と矛盾します。
よってn≧3で5の倍数ではありません②。①および②よりすべてのnで5の倍数にはなりません。

(4)実数じゃないってことはbn≠0ということです。じゃあなんで上ではbnじゃなくan求めたんだよ!とつっこみを入れたくなるはずです。その感覚は正しく、逆に言えば、(3)で求めたanの性質を使って解けということなのです。同じく背理法で行きます。
(1)があるから単純にan2+bn2=an2=52nとなって矛盾だけでOKですね。

(1)(4)別解答

解法のポイント
  • すべての複素数は長さと角度(極座標的な感じ)で表せる(実数部分をx、虚数部分をyと取る。複素数平面という少し前の指導要領ではあった分野)
  • 複素数をかけるということは長さ倍して角度分回転させる操作になる


(1)ポイント2番目の証明は慶應大学理工学部2013年数学第5問を参考にしてください。
z=25(cosθ+isinθ)、ただしθはcosθ=1/5、sinθ=(2√6)/5を満たすものとする。
zn=5n(cosθ+isinθ)n=5n{cos(nθ)+isin(nθ)}となるので実部と虚部の平方の和はcos2(nθ)+sin2(nθ)=1より52nとなる。

(4)じつは初めに思いついたのは(1)を使わないものだったり。お恥ずかしい。
n≧2とし、あるn=k+1でbnが0だとすると、bk+1=0=bk+(2√6)akとなります。(3)に持ち込むためにはbkがじゃまです。
よって、bk=-(2√6)akと変形してやり、ak+1=ak-(2√6)bkに代入します。
ak+1=25akになり、akが整数であることからak+1が5の倍数となり矛盾します。残ったn=1つまりb1が0じゃなかったことと合わせるとすべてのnで実数にはなりません。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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