ひたすら受験問題を解説していくブログ
早稲田大学理工学部2014年数学第3問
waseda_riko_2014_q3.png

解説


ただの場合の数なので,数学というよりも算数な問題です。でもこういうのは数学が得意でもふと失点してしまうことも多いので,他で時間を余らせてじっくり見直ししたいところです。別解答では色を別として考えた解法も載せておきます。

(1)
ある面を決めるとその面の向かいが決まるので,隣り合う三つの面を塗るのが何通りであるかということです。3つ決めてやればそれで終わりなので3!=6です。一方,全事象は6!/(2!2!2!)=90通りです。よって,6/90=1/15

(2)
どれも対面が同じにならないものを考えるのは少し難しいため,余事象で考えます。同じ色の対面は3対,1対,0対の3パターンがあります(2対が同じなら残りの対面も同じになります)。

1対のときは対となる色の選択が3通り,同じ色になる面の選び方が3通りです。残りの色の塗り方は,まず1面を決めるのに2通り,その対面は自動で決まります。残った面も同様に2通りです。つまり,3×3×2×2÷90=2/5が1対の場合です。

0対の場合は1-1/15-2/5=8/15となります。

【(2)別解答】直接
まず隣り合う三面を考えます。この割り振り方は全面異なるか2つ同じで1面のみ別の色の2通りが考えられます。

(i)全部異なる場合
3面の塗り方は3!=6通り。ある面の対面は2通り。そのとき選んでいない色を塗っていた初めの3面の対面から色を決めれば,残りの色は決まってしまうことが分かります。よって,12通りになります。

(ii)2面が同じ
同じとなる色の選び方が3通り,他の色が2通り。面の選び方が3通り。初めの3面で一つだけ色が異なるものの対面は1通りに決まります(制約の多いものから考える)。残りの面は残っている色のどちらでもいいので2通りです。計36通りとなります。

(i)(ii)より(12+36)/90=8/15

(3)
3×1/15+1×2/5=3/5

【全体別解答】区別して考える
組み合わせの問題で全部に番号をつけてしまう方法は有効です。特に,確率の場合は,場合の数のように重複の処理もしなくていいです(分母と分子で重複が打ち消しあうので)。

(1)
色に番号を振って区別して考えます(赤1,赤2みたいな感じです)。全体は6!通りです。
ある面と隣り合う3色を別の色で選ぶために,3色(番号別)の選び方は23です。これを並び替えるのは3!通りです。したがって,23×3!/6!=1/15

(2)
ある面を何色に塗るかは6通り,その対面を何色に塗るかは4通り。他の1面で4面を塗る通りは4!ですが,このうちで対面が同じになるものはまだ2色あるもの一方を入れるのは4通りで,対面は自動で決まるため,残りの2面を残りの色で塗るのは2通りとなり,計8通りとなります。したがって,
6×4×(4!-8)÷6!=8/15


早稲田大学理工学部2014年数学に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/490-fd51d08c
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック