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早稲田大学理工学部2014年数学第5問
waseda_riko_2014_q5.png

解説


誘導が沢山ありますが,その誘導の活用が少し難しい問題です。文字が変わっているだけであることに注意して臨みたいです。

(1)
C1,C1ともにy軸対称です。よって正側(A,BのうちBとします)のみを考えればOKです。まずは2点A,Bを持つ条件を考えると,頂点をのぞくC1の値域に接線であるy=a+1が来る場合です。よって,

a+1>0⇔a>-1

となり,問題文中の条件a≧0より甘いです。次に,OBが円に接する条件ですが,Bの座標は(√(a+1),a+1)なので,直線OBがy=x√(a+1)となり,中心(0,a)との距離が半径1と等しくなることから,
waseda_riko_2014_a5_1.png

(2)
直線を先にα,βで表して接する条件を求めます。
waseda_riko_2014_a5_2.png
このときに,求めるべき式は
waseda_riko_2014_a5_3.png

【(2)別解答】
接線の方程式は公式で求めて交点が満たすべき方程式と解と係数の関係を出すと(こういう問題は大体の場合で具体的な解を求めずにα+βおよびαβを求めます)
waseda_riko_2014_a5_4.png
求めるべき式を変形して代入します。
waseda_riko_2014_a5_5.png

(3)
(2)のβをγに変えた式は成り立ち,明らかに解と係数の関係な感じのものを求めるので,βをxに変えた式の2解がβとγだと分かります(α=±1の時は(2)の前提であるs,tの条件に外れることに注意すると1次方程式にはならないです)。
waseda_riko_2014_a5_6.png

【(3)別解答】誘導無視
(2)の再利用に気づけなくともコツコツ地道に解くことは可能です。(α,α2)を通る傾きmの直線y=mx-mα+α2と放物線の交点のxは
waseda_riko_2014_a5_7.png
mが求まればどうとでもなるので,直線が円と接することからmをもとめます。
waseda_riko_2014_a5_8.png
初めに求めた交点のxがβとγだったことに注意すれば(それぞれに対応するmが先ほどのmの2次式の2解に相当することに注意。一応,下添え字で対応を表しています),
waseda_riko_2014_a5_9.png

(4)
接することを示す際に(2)の途中でで導いた式に代入してやります((2)そのものにいれてもOKですが,別解答(2)の場合は接することと(2)の必要十分性が担保されているか示すことが必要となります。)
waseda_riko_2014_a5_10.png
となり,接することが分かります。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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