ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京慈恵会医科大学2014年数学第2問
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解説


”いわれていることを忠実に”系の問題です。特別な発想はいらないので,これを聞かれたらこうするというのがすぐ出るように訓練しておきましょう。正直なところ最後の積分計算がめんどくさいだけです。実際には(2)までさくっと解いて(3)は後回しにして他の問題を解いてから戻ってくる感じでしょうか。

(1)
(i)凹凸と変曲点を調べるので微分していきます。
jikei_2014_math_a2_1.png
f'(x),f''(x)ともに分母は正であり,その符号は分子と一致します。x>0より,f(x)は単調増加関数かつx=aで変曲点をもちます。つまり,t(a)=aです。

次にC2がこのPを通ることから,
jikei_2014_math_a2_2.png

(ii)
f'(0)=0,f'(∞)=0,f(∞)=∞より,
jikei_2014_math_a2_3.png

(2)
大小関係とあるので差をとって微分でしょう。その際にx2をはさんだ合成関数と捉えてもよいでしょう(これぐらい簡単な関数なら大差ないですが)。h(x)=f(x)-g(x)とすると,
jikei_2014_math_a2_4.png
となり単調増加です。x=aで交点を持つこととあわせて,f(x)≦g(x)となることがわかります。

(3)
xについて0からaまでh(x)を積分してやります。
jikei_2014_math_a2_5.png
この第2項の積分が本問の本題ですね。logなので部分積分でしょう。
jikei_2014_math_a2_6.png
h(x)の積分に代入して微分してやります。
jikei_2014_math_a2_7.png
したがって,最大値は
jikei_2014_math_a2_8.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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