ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京慈恵会医科大学2014年数学第4問
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解説


前半は簡単めなベクトルで落としてはいけないでしょう。後半は慈恵おなじみの回転体で,回転軸からの距離の大小を場合わけする良くありがちな問題です。慈恵受験生ならこれくらいなれて欲しいものです。

(1)
(i)
ベクトルBC=ベクトルAD,ベクトルDC=ベクトルABに注意してただ表していくだけです。まずMとNはそれぞれ,
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BN上とDM上という条件を連立させます(当然係数は複雑な方が簡単になるようにします)。
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(ii)
角度と言われているので内積のcos表現でしょう。AD,ABを成分表示で表し,それを用いてAD・AGと|AD|および|AG|を表すと,
jikei_2014_math_a4_3.png

(2)
z軸周りということはz=tで切った断面を出して積分するだけです。OB,OC,ADはz軸に垂直なので(z成分が同じです),辺OD,OA,AB,DCのみを考慮すればいいです。このうちODはただのz軸上,ABはDCをz軸に垂直な平面上をベクトルCBだけ平行移動させたものなので,実質OAとDCのみ考えます。それぞれのz=tとなる座標はt/3√2倍すればいいだけなので,それぞれP,Qとすると,
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したがって,ABとの交点(Rとします)は,
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となり,断面図は
jikei_2014_math_a4_8.png
となります。まあこれを回転させるとして,お決まりの長さが最長の位置が変わるかをチェックします。O'R>O'Pはtの範囲的に自明なので,QとRのみチェックすればいいです。
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それぞれの範囲で積分してやります(最後の左の積分は三角形の面積で計算してます)。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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