ひたすら受験問題を解説していくブログ
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灘中学校2013年算数:第一日目第4問
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早稲田大学の入試とかで出しても、合格者で結構解けない人多そうですね。この問題解説しにくいです。今までもテキトー解説だったけど更にテキトーになりそうな問題です。

解答

解法のポイント
  • 分母が大きいほど小さい
  • 上記のことを使うために二つの分数が同じになる値を基準にして比較する

まず、問題文を整理すると、求める分数達は50/100より大きくて51/100より小さいということを言ってるとわかります。分母が100以下の分数の場合に分子を1ずつ増やしていくとどうなるか考えてみましょう。増え方は1/100より大きいため、50/100と51/100の間をまたいでしまうかも知れません。まず確実にまたぐものを探してみます。増え方が1/100より大きいなら、50/100つまり1/2と同じ値になりえる分母は確実にまたいでしまいます。例えば分母が4なら2/4で1/2ですが、その次は3/4となるため大幅にまたいでしまいます。約分して1/2となるものは分子が分母のちょうど半分になるので、分母は偶数となります。そのため、偶数の分母はNGです。

さて、残りは奇数ですが、奇数の場合にも同じように考えられないでしょうか?分子を1.5/3のように小数にしてあげればできるのです。比較の基準を1/2にしてあげれば偶数のときのように比較しやすくなります。1.5/3のように分子を小数にして作った分数と、同じ分母で次に大きい整数の分子をもつ分数の差が、50/100と51/100の差、つまり1/100より小さければ50/100と51/100の間にあるということが分かります。1.5/3の場合には2/3が次に大きい分数なので差は1/6になります。分子が0.5増えれば次に大きい分数になるので、二つの分数の差は1を分母の2倍の数で割ったものになるということです。
これが1/100より小さいということは、分母の2倍は100より大きくなります。

次に、忘れてはならないことが、約分できない分数であるかのチェックです。分母は分子を2倍して1引いた数になることに着目すると、分子の2倍が分子のどんな約数でも割れてしまうので、それと1しか差がない分母は分子のどの約数でも割れないことになります(15は3で割れますが、これに3を足し引きした12=15-3や18=15+3などは割れますが、19=15+4などは割れません。割れる数に割る数で割れない数字を足したり引いた数字は割れなくなります)。

以上から分母は奇数だったはずなので50より大きく100以下の奇数となり、25個(これは100/2-50/2で求まる)となります。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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