ひたすら受験問題を解説していくブログ
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早稲田大学理工学部2013年数学第3問
waseda_riko_2013_3q.png
正直計算がめんどくさいだけの問題です。嫌がらせです。と見せかけて実はいい計算法があったりします。予備校とかの解答だと普通に計算している所とかありそうです。

解答

解法のポイント
  • 同じ形が出てきたら使えないのか考える
(1)xで微分します。g'(x)=t-e2x-2ex-1=0
⇔-e2x-2ex-1+t=0ですが、これはex=XとおくとのXの2次関数でex=X>0なので、最大値を持つならX>0の範囲でプラスからマイナスに転じる解を持てばよい。つまり正(グラフで右)側の解ですね。よって、軸が-1であることを考慮するとX=0を代入した値が0より大きければOKということになります。
よってt-1>0⇔t>1となります。解は公式に当てはめるとX=-1±√tでX>0より-1+√tとなり、x=log(√t-1)になります。最大値は代入して(今回の場合余り関係ありませんがXでいけるところはXまま代入が基本)、
waseda_riko_2013_3a_1.png

別にt=e2x+2ex+1としてXで置き換えてX<0におけるtの値域を求めても同じことです。

(2)微分して求めます。
waseda_riko_2013_3a_2.png
よってa=log(√t-1)つまりt=(ea+1)2の時に最大ですが、x=log(√t-1)と似てませんか?じゃあ(1)の流れ使えません?m(t)=g(a)ですのでそれを利用します。
waseda_riko_2013_3a_3.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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