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日本医科大学2014年数学第1問
nichii_2014_math_q1.png

解説


基本的な問題ばかりな小問集合で,ここで落とすと厳しいでしょう。第2問はひらめき次第で早く終わります。

問1
(1)
ハート無し,つまりスペードのみから2枚選ぶ場合の数を,全場合の数で割ってやります。nC2÷9C2=n(n-1)/72

(2)
ハートが1枚,スペードが1枚の場合の数は,ハートの中から1枚,スペードの中から1枚選ぶ場合の数の積なので,9-nC1×nC1÷9C2=n(9-n)/36

(3)
不等式を作って適当なnを入れるだけです(整数なのでまじめに2次不等式を解く必要はないです。n(n-1)とかならn2ぐらいであたりをつけましょう)。
nichii_2014_math_a1_1.png
これをもう片方に入れてやるとそれぞれ,1/2と7/18となるので,後者のn=7が答えになります。

問2
(1)
ベクトルとして長さを求めてみると
nichii_2014_math_a1_2.png
BCも全く同様なので,BC=√2

(2)
ただ計算するだけです。
nichii_2014_math_a1_3.png

(3)
三角形ABCを底面だとすると面積は(2)でBA⊥BCなのでBA×BC÷2=1となり,Oから下した垂線の足をHとしてOHの長さを求めれば終わりです。OHは三角形ABCの面に垂直なので,BAに垂直かつOを通る平面(BAとの交点をPとします)とBCに垂直かつOを通る平面(BCとの交点をQとします)の交線となります。したがって,ABC上では下図の様になります(ABCは直角二等辺三角形です)。
nichii_2014_math_a1_4.png
OA=OB=OCよりP,Qはそれぞれ中点になっているので,ABCが直角二等辺三角形であることを考慮すれば,そこから各辺に垂直に引いた直線の交点HはAC上の中点になります。AH=AP√2=1,AH⊥OHなので,三平方によってOH=√(3-1)=√2となります。
したがってOABC=OH×ABC÷3=(√2)×1÷3=(√2)÷3

【別解答】ベクトルでOHを求める
OHはABC上なので,次のように表せます。
nichii_2014_math_a1_5.png
これがABCに垂直なので,ABとBCに垂直です。
nichii_2014_math_a1_6.png
Cも同様に(BにとってAと実質変わらない点です)t=1/2となります。よって,
nichii_2014_math_a1_7.png

問3
2次方程式の2つの解と言われている段階で解と係数でしょう。解と係数の関係でおいて解いてみれば(sinθをs,cosθをcとします),
nichii_2014_math_a1_8.png
2乗しているため同値ではないのでいれてチェックします。上の式に入れると,θ=2π/3のもののみプラマイが逆で不適なので,
nichii_2014_math_a1_9.png


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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