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日本医科大学2014年数学第2問
nichii_2014_math_q2.png

解説


パッと見わかり易い形だし,前の設問の利用の仕方も明示されているので,難易度は過去の日医にしては大分低めな設定です。また,ある設問で証明できなくとも,適当な値を入れて不等号の向きだけ決めてしまえば,次の設問に挑戦できるため,大問丸々の失点もしにくいようになっています。

問1
見るからに同じ関数の差なので平均値の定理が適用できます。左辺に適用すると(cはxとkの間の数),
nichii_2014_math_a2_1.png
x≧kのとき,証明すべき式の左辺も(x-k)も0以上(0となる,すなわち等号成立はx=k)なので,大きい値をかければ大きくなります。
nichii_2014_math_a2_2.png
一方,x<kのときは,証明すべき式の左辺も(x-k)も負なので,小さい値をかけると大きくなります。
nichii_2014_math_a2_3.png

【別解答】
差をとって微分してやります。
nichii_2014_math_a2_4.png
これとf(x)が連続,f(k)=0,f'(k)=0より,x=kで最大値0をとるので,右辺の方が大きく,等号成立はx=kとなります。

問2
kの置き方は指定されており,logxの部分がlogaとかになっていると推測できます。係数もかけた上で式を立てると,
nichii_2014_math_a2_5.png

問3
sは問2の条件を満たしているので,それを使う問題だと考えられます。対数であることに注意すれば積は和になるので,問2の式にsを入れたものを全部足してやります。
nichii_2014_math_a2_6.png

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