ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2008年前期数学第1問
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解説


(1)はやるべきことが明らかなので取り組みやすいですが,(2)はこのような表現に慣れていない受験生にはきついようです。ただ,やっている内容は直線が作る領域に過ぎないので余り時間をかけずにさっくり解きたい問題になっています。

(1)
nのときの直線anx+bny=1上の点が移った先のx座標とy座標の関係式を求めたいので,点(X,Y)がどのような点(x,y)に移るかを求めて,XとYをxおよびyで表して代入すればx,yの関係式が得られます。fの定義より
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(2)
(1)で求めた漸化式を解いて一般項を求めます。下に上を代入して,
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以上から,
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nに関係無しに必ず通る点があれば作図がかなり楽になるので探します。nを消すようにすることを考えれば,y=-2xなので,
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となって,nによらず点(-1,2)を通ります。あとは傾きが変わるだけであり,傾きは
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と単調増加かつ-1に収束し,求める領域は全ての直線の上方になるので下図のようになります。x+y=1にはならないので,>でも点(-1,2)の右側におけるx+y=1は含まれることに注意すれば,下図のx≦-1の境界は含まず,-1<xの境界は含む領域となります。
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【別解答】行列による解法
直線l0上の点(X,Y)にfをn回かけることを考えれば,その点が移動する点を(x,y)とすると,
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要は一番右のn乗を求めればよいので,固有値を求めて対角化してやります,
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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