ひたすら受験問題を解説していくブログ
早稲田大学理工学部2013年数学第4問
waseda_riko_2013_4q.png
断面を求めてそれを積分していくというありがちな体積の積分問題です。断面積求めろとの誘導もあり、置換積分の変数にもヒントがあり、幾何的に断面積さえ求められればときやすい問題です。

解答

解法のポイント
  • 体積は断面積の積分
  • 直角三角形の直角となる頂点から斜辺への垂線は相似な三角形に分割する
  • √(a2-x2)はx=asintで置換する
(1)下図において求めなければならないものは△ABCと△ADCの面積です。まず△ABCですが、ACがわかっているのでBHを求めればOKです、BHを含む三角形は△AHBと△BHCなので
AH:BH=BH:CH⇔1-x:BH=BH:x+1よってBH=√(1-x2)
一方、△BHCとDOCが相似なので、BH:HC=DO:OC⇔BH/(1+x)=DOとなります。
以上から面積は
waseda_riko_2013_4a_2.png
waseda_riko_2013_4a_1.png
(2)
単に積分する。その際に半径1で1/4の円の面積がπ/4になることを利用すると計算が楽です。
waseda_riko_2013_4a_3.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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