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灘中学校2015年算数第1日目第10問
nada_2015_math_10q.png

解説


良くありがちな補助線としてある辺の平行に引くというものがあります(まあ,私は読者の方に言われるまで気づきませんでしたが)。平行に引くと同じ角度が作りやすいので,簡単に相似な三角形を作ることができます。

AEを求める場合にはAEを含む三角形を考えるか,長さの分かっているACから引くことを考えてECを求めることを考えるかになります。ECを含む三角形はEBCとEDCの2通りがありますが,引いた後の情報量を考えると,EBCと相似な三角形を作るDを通ってBCに平行な直線を引いてあげる方が良いようです。
nada_2015_math_a10_1.png
ACとの交点をFとすると,△EBC∽△EDFです。また,∠CFDも60°となるため,△CFDは一辺5cmの正三角形になります。したがって,相似比は3:5であり,ECはFE=5cmの3/8です。よって15/8となります。つまりAE=AC-EC=8-15/8=49/8が①の答えです。

△CFDは一辺が5cmなので一辺1cmの正三角形の25倍です。直線AC上の辺を底辺とすると高さは△AEDと共通なので,△AEDと△CFDの比は底辺の長さだけで決まります。よって,△AED:△CFD=AE:FC=49/8:5なので,△AEDは一辺1cmの正三角形の25×49/8÷5=245/8が②の答えです。

【別解答】
相似な三角形をそのまま見つけようとしても上手くいきません(多分)。与えられている角度が有名角なので,このような場合には垂線を引いてやれば比で長さが求まります。

求めたいものがAC上の話なので,ACに対する垂線をBおよびDから引いてやります。拡大したものを下図においておきます。
nada_2015_math_a10.png

60°直角三角形は正三角形の半分なので,CH=BC/2=3/2,CI=DC/2=5/2です。したがって,HI=CH-CI=1となります。さてここで,△BHEと△DIEは相似になっているので,IE:HE=BH:DI=BC:DC=3:5です。つまり,EはHIを3:5に分けている点になります。

よって,EH=HI×3/8=3/8となり,EC=CH+EH=15/8となります。したがって,AE=AC-EC=8-15/8=49/8が①の答えです。

△AEDの面積はACを底辺とすると,底辺が1辺1cmの正三角形の49/8倍であり,高さはDIなので1辺1cmの正三角形の5倍です。したがって,49/8×5=245/8が②の答えです。

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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
Dを通る線分BCに平行な線を引く。
これで相似な三角形が出来ますね。
わりと簡単に解ける問題ですよね。
2015/01/23(金) 22:45:09 | URL | #- [ 編集 ]
私は気づきませんでしたが,正三角形ができるようなのでさっくりいくようですね。
そんな感じの解答に直しておきます。
ありがとうございました。
2015/01/23(金) 23:00:46 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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