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東京大学2008年前期数学第2問
todai_2008_math_q2.png

解説


コツコツ漸化式を立てるだけです。その際に対称性を利用することと,初めてという条件をどう表すかぐらいが鍵でしょうか。正直ぬるい問題です。

(1)
あり得る状況としては,白4,白3黒1,白2黒2,白1黒3,黒4です。対称性から白4と黒4,白3黒1と白1黒3はそれぞれ同じ確率となります。よって,n回後に白4または黒4である確率をan,白3黒1または白1黒3である確率をbn,白2黒2である確率をcnとして,全て同じ色になった後は変化しない(初めてということは一回なった後の変化はそれ以降考えても無駄です。なっている確率の差分が新規になったものです。)とした場合に次の漸化式が立てられます。
todai_2008_math_a2_1.png
となります。ここで,b0=0,b1=1であることに注意すると,求めたい確率をpnとすると,
todai_2008_math_a2_1_2.png

(2)
同様に処理します。少ない方の枚数が0,1,2,3の順にa,b,c,dを割り当てると,
todai_2008_math_a2_2.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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