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早稲田大学理工学部2013年数学第5問
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少し他の問題に比べると難易度が高い問題です。どう考えていいか取っ掛かりがつかめないと時間だけが経過しそうです。

解答

解法のポイント
  • 3次元以上の空間はベクトルが楽(2次元でもですが)
  • ベクトルは直交するものにベクトルに分解する
  • 特に指定がなければ都合のいいように座標を取る(あっても)
  • 対称性を利用して考える要素を減らす

(1)Q上の単位ベクトルで二面の交線と平行なものをベクトルx、直交するものをベクトルyとし、長さ1の考えるべきベクトルをuとする。ここでベクトルuと二面の交線のなす角度をφとすると
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となる。ここで、ベクトルxの正射影のベクトルをx'、ベクトルyの正射影のベクトルをy'とすると。xとx'の長さは等しく、y'の長さはyの長さにcosθをかけたものになる。また、x'とy'は直交するので(x',交線に垂直なy''およびそれらに直交するz'を用いてx,y,y'を表せば証明できます)、ベクトルuの正射影u'は次のようになる。
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よってsinφ=0のとき最大で1、sinφ=±1のとき最小でcosθとなる。

(2)Q上で三角形をベクトルx方向を底辺、y方向を高さとなるように分割する(下図を参照)。三角形の面積はAB(CM+DH)/2となる。(1)よりABの正射影はABcosθ、CMおよびDHはそのままで、正射影後もABはCMおよびDHと直交するので、正射影後の面積は(AB(CM+DH)cosθ)/2となる。よって(1×(√3)/2÷2)cosθ=(√3)/4×cosθ(同様の考察は任意の図形で成立するのでcosθを掛ければいいことになる)
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(3)適当に正四面体を置いてやり直行する3方向の軸の回転を考えてやればよい。ここで、その一本をPに直交する軸(zとし、それ以外の2軸をx,yとする)とすれば、その方向の回転は面積になんら影響しない(T'が同じ形でP上を回転するだけである)。また各軸方向への平行移動もT'の面積に影響しないため、Tのある頂点がP上になるように配置できる。

図形の形だが、正四面体は4つの頂点から構成されるので、三角形と四角形が想定される。三角形は正四面体の面をPにぴったりとつければよく、四角形のものは、正四面体の辺の1つをx軸に合わせx軸周りに回転させれば簡単に見つかるので、三角形と四角形がありうる図形。

次に面積だが、三角形の場合はまずは正三角形を底面としてPにぴったりとつけたところから回転させてやる。底面にない頂点の正射影が、底面の正射影からはみ出るところまでは三角形のままで、Pと底面が平行ではない限り、底面とPのなす角は0とならず、(2)より最大とならない。よって三角形の場合はPにぴったりとつけた(√3)/4が最大。

次に四角形の場合を考える。、z軸周りの回転によって下図のように正四面体の辺OAの射影OA'をx軸に合わせる。ここで、(1)よりOA≧OA'またBC≧B'C'≧OA≧hが成立する。図の面積はhOA'/2なので、不等号の等号成立、つまり、BCが面Pに平行かつOAが面Pに平行なときとなり、最大値は1/2となる。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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