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東京大学2008年前期数学第3問
todai_2008_math_q3.png

解説


正八面体の性質を押さえて置けたか,置けていない場合には力業で回転の処理できるか否かが鍵です。また,(1)の意図として真上から見た図で考えることと断面を考えることは同じであるということに気づけたか否かに尽きます。

(1)
正八面体は球に内接する図形で,(2)にあるように対面が平行になっています。また全ての面は正三角形であり,正八面体をA-BCDE-Fとした場合にBCDFは正方形です。
これを踏まえると,一つの面,つまり正三角形は球に内接しており,言い換えれば円に内接しているといえます。外接円の半径は内接している三角形によって決まり,平行な面は合同な三角形なので,同じ半径の円に内接しています。つまり,真上から見た場合に同一円に内接しているように見えます。また,これら2つの正三角形の辺のうち一組の辺は正方形の向かい合う辺であり平行です。以上から,2つの正三角形の図は下図左の様になり,頂点間を結んでやれば下図右のように見えることがわかります(全体としては正六角形です)。
todai_2008_math_a3_1.png

【別解答】回転による解法
図形的な性質から攻めるのが苦手な人は座標がわかり易い配置から回転させてやればよいと思います。正八面体をA-BCDE-Fとし,正方形部分をAをx軸正上,Fをx軸負上,BCをy軸に平行かつz軸の正の部分と交じるように取ります。このとき,正八面体の重心が原点にきていますが,OB=OAであることから,各座標は簡単に求まります。計算の都合上,一辺を2とすると,
A(√2,0,0)
B(0,1,1)
C(0,-1,1)
D(0,-1,-1)
E(0,1,-1)
F(-√2,0,0)
さてこれらを回転させてやりますが,対称性を考えば,AとBの回転のみ考えればいいでしょう。回転角は下図のθです。
todai_2008_math_a3_2.png

したがって,A,Bの回転後(A',B'とでもしておきます)はy軸にはまわさないので無視してやると(行列でやっていますが,新課程の人は複素数でいいです),
todai_2008_math_a3_4.png
となります,表記しやすいように倍率を√3倍した座標は,
A'(2,0,√2)
B'(-1,√3,√2)
C'(-1,-√3,√2)
D'(1,-√3,-√2)
E'(1,√3,-√2)
F'(-2,0,-√2)
となります。これをz座標無視して配置してやればいいので,
todai_2008_math_a3_3.png

(2)
回転軸に沿って積分して行きますが,同一円に内接する二つの正三角形の重心は等しいので,問題文で言う真上方向(z軸とします)が回転軸であり,その断面を考える際に(1)で描いた投影図で考えます(断面も投影図もどちらも回転軸方向の成分を無視したものになっています。)。
正八面体の中心を原点とした場合,原点から面への距離は外接球の半径と正三角形の外接円の半径から三平方で求まります。外接球の半径は正方形に内接する半径に等しいので,1/√2です。外接円の方は正弦定理より,1/2sin60°=1/√3です。したがって,面までの距離は1/√6になります。
積分の対象ですが,(1)の正六角形の辺上を点が移動していくだけです(どの辺の距離も対称性から同じです)。z=tのとき,(1)解答の右上の点をA,左上の点をBとし,AB(x軸に平行とします)の中点をMとすると,A(1/2√3,1/2),M(0,1/2)なので,求めたい点のx座標は1/2√3×t/(1/√6)=t/√2となります。よって,
todai_2008_math_a3_5.png

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