ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2008年前期数学第4問
todai_2008_math_q4.png

解説


基本的な置き方にしたがって淡々と解いていくだけの問題です。落としてはいけない問題です。

(1)
P(p,p2),Q(q,q2)と置いて直線の方程式を求めると,
todai_2008_math_a4_1.png
長さはmを使って,
todai_2008_math_a4_2.png
hは
todai_2008_math_a4_3.png

(2)
まずmの範囲を求めます。どういうmかといえば,p,qが存在するmです。上の”L=”の式を”p-q=”の形にした場合,”p+q=m”と連立させてp,qが存在する条件にはmは一切出てきません(存在する条件は二つの式が異なり,かつ,平行ではないことです)。したがって,mは任意なので,範囲指定無しの最小値になります。微分して求めますが,t=m2+1と置いてやれば,t≧1の範囲での最小値として求めればいいので,
todai_2008_math_a4_4.png
ただし,t=Lとなるためにはt≧1よりL≧1でなくてはなりません。したがって,L≧1の場合はt=Lの時で,それ以外はt=1の時に最小となります。
todai_2008_math_a4_5.png

【参考】
形的に相加相乗でもいけそうですが,L≧1の場合しか相加相乗の等号成立条件が満たせないため,0<L<1における最小値を他の手段で求めなければなりません。

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