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灘中学校2015年算数第2日目第5問
nada_2015_math2_5q.png

解説


平行な切り口を考える際に,できる図形の辺も平行になることに気づけたかどうかと,相似を上手く使って計算を楽に済ませられたかに尽きます。(3)は難しめだとおもいます。

(1)
切り口の方向は,切られる面がどの方向を向いているかで決まってきます。例えば,QRを含む面はBCを含む面と同じなので,BCを結ぶ直線と同じ方向の切り口が生じます。
以上を踏まえて,Pから順に書いていけばそれで終わりです。
nada_2015_math2_a5_1.png

右上はABCの相似比が1/6です。面積比にすると1/36です。左下は相似比が1/3なので,面積比は1/9です。よって,1/36+1/9=5/36倍です。

(2)
(1)と同じく面の方向に注意してQから順にたどっていきます。
nada_2015_math2_a5_2.png

相似比1/6の正三角形(左上),相似比1/2の正三角形(左下),1/3の正三角形(右上)を考えて,後者二つの重なっている1/6の三角形を引いてやります。つまり,1/36+1/4+1/9-1/36=13/36倍です。

(3)
Rの方が奥にあるので,Pの手前側からRの手前側を引いてやればいいです。このときも比で計算していきます。その前に,Rで切った図を描いてみると,
nada_2015_math2_a5_3.png

まず,Pで切った手前の体積は,(1)右上の三角すいの何倍かで考えれば,相似比1と2の三角錐ができているので,1+8=9倍です。
一方,Rで切ったものの手前は,相似比5の三角すいから,2×3×1の直方体から相似比1の三角すい(図の中央の小三角形の部分)引いた図形を引いたものになっております(下図のように考えているSに平行な平面が直方体と交わっており,色をつけた部分が相似比5の三角すいに入っていません)。
nada_2015_math2_a5_4.png

よって,(125-9)×1×1×1×1/6-(2×3×1-1×1×1×1/6)=117/6-6=27/2


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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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