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東京大学2008年前期数学第5問
todai_2008_math_q5.png

解説


(2)の必要条件が少し難しめです。

(1)
mが整数なのでとりあえずパッと見で帰納法といきたいところです。

(i)m=0のとき
111なので,111≡1+1+1≡0 (mod 3)であり,111≡1+1+1≡3 (mod 9)で成立します。

(ii)m=kで成立すると仮定した場合
3で割れない整数pqを用いて,
todai_2008_math_a5_1.png

となり,3k+1で割れるが,3k+2で割れない数になります。

(i)(ii)より,全ての0以上の整数mにおいて成立します。

(2)
(i)十分条件
n=27pとでもしてやれば,(1)の(ii)と同様に1が27個続いたものと整数の積で表せます(最も大きい位が1で,あとは0…01の繰り返しがp-1回です)。したがって,(1)より1が27個続いたものは27で割れるので,1がn回続いたものも27で割れます。

(ii)必要条件
1が何回続いていようが27個ずつ区切ってやれば,それぞれが”10のなんとか乗×(1が27個)”となるので27で割れることになります。したがって,割れるか否かの基準はn=27p+qとでも置いてやった場合に,1がq個続いたものが27で割れるか否かに帰着します。

条件を対偶で考えれば,”q≠0(1≦q≦26)⇒1がq個続いたものは27で割れない”となります。
まず,27で割れる前提として9で割れることなので,1がq個続いたものを9個ずつに切り分けて考えてやれば,qが27で割れない以上,qは9で割り切れないか,q=9,18です。
前者の場合,そもそも各桁を足したものが9の倍数ではないので9で割り切れません。
後者の場合は,1が9個のものが9で割り切れるが27では割り切れないので,それぞれ”1×(1が9個)”,”1000000001×(1が9個)”として捉えてやれば,1も1000000001も3では割り切れないので1がq個続いたものも割り切れません。

(i)(ii)より,nが27で割り切れることが必要十分条件となります。

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