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東京大学2009年前期数学第1問
todai_2009_math_q1.png

解説


(1)(2)は簡単なので落としたくない問題です。(3)は少し難しく解けなかったひとも多いと思います。

(1)
mC1=mであることから,dmはmの約数です。したがって,mか1しかあり得ません。あとはこれで他が割れることを証明すればいいことが分かります。有名な公式,kmCk=mm-1Ck-1より,k(1≦k≦m-1)はmと互いに素なのでmCkがmで割れます。

【(1)別解答】
todai_2009_math_a1_1.png
mは素数なので割れません。したがって,mは消えないためmの倍数になります。

(2)
帰納法と言われているのでやることは一つです。

(i)k=1のとき
km-k=0であり,どんな整数でも割り切れます。

(ii)k=pで成立すると仮定
とりあえずp+1のものを展開してpの場合の形を見つけてやれば,
todai_2009_math_a1_2.png
ここで,Σではない部分はk=pの場合なのでdmで割り切れ,Σの部分はdmの定義上,コンビネーションが全て割り切れるので,Σ部分も割り切れます。つまり,全部割り切れました。

(i)(ii)より,全ての自然数kにおいて成立します。

(3)
どう考えても(2)を使うんでしょうね。これで使わなかったら人間不信になるレベルのミスリードです。自由に入れていいようなので,dmが3以上だと矛盾が出るように選んでやります。具体的な数字を除くと考えられるものはdmの倍数やdmと互いに素のものなどが候補として挙げられます。倍数だと何も得られないので,互いに素な数を代入してやれば(互いに素な数の最も簡単な作り方はプラマイ1してやることです),
todai_2009_math_a1_3.png
これがdmで割り切れるので(dmとdm±1は互いに素),
todai_2009_math_a1_4.png
が0にならなければなりません。プラスの場合はそのまま0ですが,マイナスのものはm-1は奇数なので-2となり,これが0と合同であることから,dmは2の約数になります(できる人だと,mが偶奇で変わるという情報からプラスではなくマイナスのみ最初から考えます)。したがって,1もしくは2です。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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