ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2009年前期数学第2問
todai_2009_math_q2.png

解説


(3)で上手く条件を整理していけるか以外についてはごく普通の問題です。第1問もそうでしたが最後の設問以外はとりたいです。

(1)
計算するだけな問題です。(ii)に注意して,
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(2)
X-1AXな形のものをn乗して,かつ,それにかけているベクトルが(iii)そのものです。したがって,BnをAnで表記するようにすれば(X部分は消えていきます),
todai_2009_math_a2_2.png

(3)
これもどう考えても(2)を使えということなので,別のアプローチで考えたものが(2)を満たすようにすることを考えます。本来ならAnを力業で計算して(iii)と混ぜていくのでしょうが,n乗を計算しやすいBに置き換えていると言ったところですね。とりあえずB2,B3あたりを計算してみると,右上の要素が0であることが分かるので,残りの要素をan,cn,dnとすると(dnはznとかに関与しないので漸化式は不要です),
todai_2009_math_a2_3.png
ここでzn→0,wn→0なので,an→0かつcn→0です。したがって,anの方より,
todai_2009_math_a2_4.png
cnの方はanを代入しても良いのですが,次のように変形してもいいでしょう。あるβを用いて,こうなればいいな的なところから恒等式で,
todai_2009_math_a2_5.png
さて,ここからcnを求めれば,
todai_2009_math_a2_6.png
これがn→∞で0になるためには,s>1より,c=0となります。そうすると,|a-rc|=|a|<1となり,示すことができました。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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