ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2009年前期数学第4問
todai_2009_math_q4.png

解説


(1)は回転体の基本に沿って,回転軸に垂直な断面で考え,回転する前の図形を考えてから回転させれば解けます。(2)は180°回転なので変にはみ出ている部分がどうlimで処理できるのかで差が出た問題だと思います。

(1)
y=t (0≦t≦1)としてy軸に垂直な面でD1,D1を描いてやり,そして回転します。ただy=tを代入してtを定数扱いすればいいので,それぞれ
todai_2009_math_a4_1.png
これを180°回転させるので,最短がz軸との交点になり,最長が直線の両端になることから下図のようになります(θは(2)用です)。
todai_2009_math_a4_6.png

このx≧0なので,半円から半円を引いた面積になり,tに関して積分すると,
todai_2009_math_a4_2.png

(2)
どうせW(a)に収束するんでしょ?と言いたくなる問題です。V(a)とW(a)の違いはx≦0の部分が入っているか否かです。ここの面積を出して積分します(上下を足した2θの扇形からθの直角三角形2つを引けばいいです)。
todai_2009_math_a4_3.png
(最後の方の極限の計算はロピタルの定理を使っています。)

【別解答】図形的なはさみうち
図形的な大小で考えてやります。下図のように挟みうてばV(a)とW(a)の差が求められます。
todai_2009_math_a4_7.png
薄い色の長方形は大きく,濃い色の直角三角形は小さくなるので,上下にこの図形が二つあることも考慮すると,
todai_2009_math_a4_4.png
limは次のように0に収束するのでV(a)→2π/3となります。
todai_2009_math_a4_5.png

東京大学2009年数学に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/533-1e18afc9
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック