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東京大学2009年前期数学第5問
todai_2009_math_q5.png

解説


(1)はセオリー通りの手順を忠実に守って差の最小値を求めればいい問題です(と偉そうに言っていますが嵌ってしまいましたが)。0が最小値になるので,本問のように微分を複雑にしているものを上手く除外して考えていくパターンです。(2)は形を作ればいいので2通り選択肢をしっかり試せるかです。

(1)
多項式のx乗なので,logをとったものの差を比較してやります(logは単調増加関数なので大小関係は入れ替わりません)。つまり,f(x)=log(右辺)-log(左辺)とすると次のように成ります。
todai_2009_math_a5_1.png
f(x)>0を示すということなので微分すればよさそうですが,そのままでもx2をかけても微分した結果がぐちゃぐちゃです。よって,邪魔な1/xを除去するために,xの正負を後から考慮してやります。とりあえず1/x以外のところをg(x)とでも置いて微分してやると,
todai_2009_math_a5_2.png
極値のチェックのためにg''を求めると,
todai_2009_math_a5_3.png
であり,-1<x<1かつx≠0なので,xの符号と一致します。したがってg'(x)はx=0で最小値を取ります。g'(0)=0であり,g'(x)≧0となります。ここで,g(x)=0なので,g(x)とxの符号は一致し,-1<x<1かつx≠0においてf(x)は常に正になります。

【参考】自分が嵌ったのはここ的なもの
なぜか平均値の定理が見えてしまって,というかモロまではいかないにしてもチラチラとまとわり付いてくる形ですよね。
todai_2009_math_a5_5.png
となるので(cはxとx2の間の数です),{}内をg(c)とでもして負であることを示せば終わりです(∵(x-1)<0)。微分すると
todai_2009_math_a5_6.png
g(c)=0なので,g(c)≦0となるためf(x)≧0が示せました。f(x)≧0が示せました。f(x)≧0が示せました・・・あれ?=が入ってしまっています。つまりはcが0にはなりえないことを示さないとダメです(x>0ならそうですが,x<0の場合はc=0の可能性もあります)。結局色々と試行錯誤していくうちに,やりたくなくて避けておいたxの正負での場合分けに行き着いてしまい,本解答のが楽じゃんとなりました。

(2)
(1)ができてしまえばあとは同じ形を作るだけの単純作業です。(1)も(2)も何かの指数乗なので,何かの部分を合わせるか指数の部分をあわせるかしか選択肢がありません。何かの部分をあわせると,x=±0.0001ですが,その後が上手く0.99を作れません。指数部分をあわせれば,x=±0.01を入れてやるとすんなり示せます(上段がx=0.01,下段が-0.01です)。
todai_2009_math_a5_4.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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