ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2009年前期数学第6問
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解説


全体的に見慣れない感じなので,数学が苦手な人にとったら難しいです。やっていること自体は結構大したことではないので,後期の総合科目とかを解きなれている人はさっくりいったかもしれません。一応理三向け問題でしょうか?

(1)
最も近づくときが1以下の距離になるということなので2点の動きを考えますが,片方を固定して相対的に考えればいいでしょう。P2に対するP1の相対速度が問題文中のベクトルe1-e2なので,P2を固定してP1を動かした図は以下の様になります。
todai_2009_math_a6_1.png
点線部分が相対距離の最小なので,ここが1以下になればいいです。つまり1000|sinθ|≦1なので|sinθ|≦1/1000が示されました。

(2)
同じ値が出ているので(1)を使うのでしょう。なので,(1)をθ1とθ2を使ってあらわすことを考えます。
todai_2009_math_a6_2.png
ここで求めたいのはθ(符号付であり,上図では負の値です)ですので各角度を整理していきます。
∠XAB=θ1
∠XAC=θ2+2π/3
∴∠BAC=θ2+2π/3-θ1
△BACは二等辺三角形なので,∠ACB=(π-∠BAC)/2=π/6+(θ1-θ2)/2
また,∠YAC=π-∠XAC=π/3-θ2=∠ACX'
θ+∠ACX'=∠BACなので,θ=∠ACB-∠ACX'=-π/6+(θ1+θ2)/2となります。

(1)のθの条件より,-α≦θ≦αなので,ここに代入して整理すれば,
-2α+π/3≦θ1+θ2≦2α+π/3となります。

(3)
T=1000/√3の時に,どれか一点でもOから半径3の円の外にいたら,ある2点の距離が1以下になることはないことを証明します。見やすくするため大分拡大していますが,P2が半径3から外れるとすると,下図のように境界の値を考えればΦの範囲を求めることができます(A2Oに対する対称性から,P2がA3側に外れる場合のみ考えています)。なお,1000/√3はOまでの距離で,HはNからA2Oに下した垂線の交点です。

todai_2009_math_a6_3.png

NHの2通りの表し方から(表記の都合上1000/√3=kとおいています),
todai_2009_math_a6_4.png
さてこのとき,θ2=π/6-φであるので,これを(2)の条件式に入れてやれば,
todai_2009_math_a6_5.png
これが(2)の条件式を満たしてなければいいので,(2)の最大が上記の最小より小さいことを示します(0<α<π/2であり,また,sinの傾きは最大1です)。
todai_2009_math_a6_6.png
となり,(2)の条件を満たせないことが分かりました。したがって,この対偶である証明すべき事項も証明されました。

【別解答】直接
なんとなく自分が解いたときに,ふと対偶をとってしまっただけなので,直接でも全然いけます。(2)の条件を連立させれば,
todai_2009_math_a6_7.png
となります。本解答のφと3αをくらべてやります。結局φ/2と3/2αを比べてやって終わりです。


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