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東京大学2010年前期数学第1問
todai_2010_math_q1.png

解説


(1)はかなり簡単な問題で,これをケアレスミス以外ではずしているようならば,受ける大学を間違っているか,国語にでもステータスを全振りしているのでしょう。(2)は3変数の最大最小で,パターン化された手法を使って行きますが,形がそれほど簡単ではないため,難易度は中程度以上あります。

(1)
回転体は回転前の断面を描いて,それを回転させるのが定石です。回転前の図形はただの長方形ですが,回転角が中途半端な90度であることに注意してください。下図のようになります。

todai_2010_math_a1_5.png

1/4の円と直角三角形二つに分けて考えて断面積を出し,高さのbをかければ,
todai_2010_math_a1_1.png

(2)
多変数関数は1文字固定で解くことが定石です。bを固定した場合,a+c=1-bとなり,その条件の下での範囲を求めますが,b→0で体積が0になるのは自明なので,最大値のみ求めればいいです。b固定下では条件付な2変数の問題なので,代入して整理してやります。cを消すと,
todai_2010_math_a1_2.png
となりただのaの2次方程式になります。2次の項の係数は正になるので,最大は変域0≦a≦1-bの両端のどちらかです。いずれを入れても同じ値になるので(aとcの対称性から実のところはc=1-a-bすら入れなくともa=0,c=1-bのみ考えればいいことは分かります),それをf(b)とおいて最大値を求めます。
todai_2010_math_a1_3.png
係数が正の三次関数なので,小さいb=1/3の方が極大値です。したがって,f(1/3)=π/27が最大となり(a=0なので),0<V<π/27です。

【(2)別解答】ラグランジュの乗数法(大学生向け)
本問の場合はこちらの方が面倒ですが,条件付最大最小なので典型的なラグランジュの問題であり,機械的に攻められます。求めたい関数をf,条件をgとすると,f-λgを各変数とλで微分した値が0になることが極値の条件ですので,f-λg=Fとおくと,
todai_2010_math_a1_4.png

このときf=(2+π)/54となります。あとは境界をチェックすると,a,cの対称性を考えれば,a=0とb=0をチェックすれば終わりです(考えるべき境界はa=0かつb+c=1,または,b=0かつa+c=1です。)。

a=0の時,本解答と同じbの関数が得られ,b=1/3でπ/27,b=0もしくは1で0です。
b=0の時,問答無用で0です。
したがって,最も大きいものはπ/27であり,0<V<π/27を得ます。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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