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東京大学2010年前期数学第2問
todai_2010_math_q2.png

解説


本年で一番簡単です。というかもろすぎて,まあ一応一工夫は必要ですが解き方は瞬殺な人も多かったでしょう。

(1)
積分の不等式は積分しているものよりも必ず大きい関数と必ず小さい関数で考えることが多いです。またその作り方は入試レベルだと決まっており,積分している関数を単調部分に分けて,それに両端の値をxに入れて作ります。本問の場合,分母と分子に分けて考えます。まずは大きいものを作ろうとすれば,ともに0を入れる,分母のみ0,分子のみ0の3通りしかないので,それぞれ計算してみます。
todai_2010_math_a2_1.png
なので,分母のみ0が当たりです。一方,小さい方は逆に1を代入すればいいので,
todai_2010_math_a2_2.png
となり,こちらも分母のみ1が当たりです。

(2)
Σ内の形が(1)の両端そのものなので,指定された範囲の和をとってみたくなりますが,積分部分も計算しておくとlogが出てきて,この一番めんどくさいlogの係数が定数ではなくなります。よって,k+1で割ってからΣをとってやります(2行目はΣを計算できる形かつ右辺の一個ずれの形にしています)。
todai_2010_math_a2_3.png

【参考】不等式の意味するもの
不等式の全辺をk+1で割ったものは
todai_2010_math_a2_4.png
1/xに関連する下図の図形の面積として捉えることができます。

todai_2010_math_a2_5.png


まず,一番わかり易い不等式の右辺ですが,大きい方の直角三角形の面積になっています。

次に,真ん中ですが,
todai_2010_math_a2_6.png
となり,図における曲線の下側部分になっています。

最後に左辺ですが,これはx=k+1における1/xの接線を斜辺に持つ小さい方の直角三角形の面積になっています。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
タイトルは2010年第2問の間違いかと思います。
2015/02/21(土) 14:01:55 | URL | k #- [ 編集 ]
すみません。寝ぼけていたようです。
2015/02/21(土) 14:31:10 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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