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東京大学2010年前期数学第3問
todai_2010_math_q3.png

解説


やっている内容はかなり簡単ですが,題意をしっかりつかむことができたかに尽きます。あと,全部の玉が一方によっている時にどういう挙動になるかを間違えた人もいそうです。本問にて式で与えられているものは,「表裏で移動先を決める」「移動量は少ない方と同じ個数」と言葉にするとわかり易いです。
第2問がパターン化されていない人はこっちの方が簡単だったかもしれません。

(1)
付け加えるタイプの漸化式の立て方(nを元にn+1的な奴です)では前の操作の影響が出て訳がわからなくなります。このような場合には初めから考えるタイプの漸化式の立て方をしてやります。

まず,コインを一回投げた場合に初めのLに入っている個数によって状況が変わります。

(i)0≦x≦15
表が出たらx個がLに移り,2x個になります。裏が出たらx個がRに移り,0個になります。一度0個になると移動はもう起こらないことも考慮すると,
todai_2010_math_a3_1.png

(ii)16≦x≦30
表が出たら30-x個がLに移り,30個になります。裏が出たら30-xがRに移り,2x-30個になります。一度30個になるとそのままなことを考慮して,
todai_2010_math_a3_2.png

ちなみにこれはm≧1に拡張しても成立します。

(2)
添え字が2nになっていることから(1)を2回使えば漸化式が得られるのでしょう。(1)の場合分けに注意して適用していくと,
todai_2010_math_a3_3.png

(3)
添え字が4nなので(以下略)。というか(2)と全く同じ設問を出すなよと思います。
todai_2010_math_a3_4.png

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