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東京大学2010年前期数学第4問
todai_2010_math_q4.png

解説


(1)は公式で瞬殺問題だとして,(2)は(1)を上手く使えたかで差が出たのではないでしょうか。

(1)
点Pを(x,y)としてxによらず一定であるという意味です。Hはy固定なので(y,y)です。したがって,
todai_2010_math_a4_1.png
となり,xに関係なく一定です(平面上でベクトル(a,b),(c,d)がなす平行四辺形の面積は|ad-bc|という公式を使っています)。

(2)
とても積分したくない形をしていますが,(1)から
todai_2010_math_a4_2.png
と”x=”の形は結構簡単であることが分かります。yで微分してやれば概形がかけます。
todai_2010_math_a4_3.png
となり単調増加であり,またlimを考えればy→∞でx=y,y→-∞でy=0に漸近します。グラフにすると,

todai_2010_math_a4_5.png

のようになり,求めるべき面積は,
todai_2010_math_a4_4.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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