ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2010年前期数学第5問
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解説


Aに意味はなく,また,動く点が多数なので,求められている直角二等辺三角形の対称性も考慮して一点(Q)を固定してやると大分すっきりします。このようにおけると難易度は大したことないのですが,上手く置けないと本年で一番難しい問題かもしれません。

Q(1,0)にでも固定してやると,Pはm-1,Rは-3で移動する問題になります。Qが直角の直角二等辺三角形になることから,PとRはそれぞれ(0,1)か(0,-1)のどちらかになっていなければなりません。こういう場合は定数のRから考えてやるとわかり易いので,Rがこれらの点にくる時のtは,t=π/6,π/2,5π/6,7π/6,3π/2,11/6πです。また,y座標の符号が逆なので,
(m-1)t=3t+2kπ⇔t(m-4)=2kπ
となる整数kがあればOKです。

(i)m=4の時
k=0なら全てで成立します。

(ii)m≠4の時
m,kが整数であることを利用します。先ほどの候補が既約分数で分母が2の倍数であることから,2k/(m-4)を約分したものも分母が2の倍数になります。つまり,m-4が4の倍数であり,mが4の倍数です。残りはm=8のみなので,これを入れてみると,t=kπ/2となるため,k=1,3しかあり得ません。それぞれtはπ/2と3π/2です。

(i)(ii)より,(m,t)=(4,π/6),(4,π/2),(4,5π/6),(4,7π/6),(4,3π/2),(4,11π/6),(8,π/2),(8,3π/2)となります。

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