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東京大学2010年前期数学第6問
todai_2010_math_q6.png

解説


そこそこ難しいとはいえ,問題の正当な難易度よりも,どの手法を使うべきか悩むだけな問題だと感じました。どれでいくかにせよ,パッと垂線の求める手法はいくつか思いついて欲しいところです。(2)は少し比の計算が面倒なのですが,(3)にわざわざ分けて最大値を問う意味が分かりません。

(1)
4つの面が合同なので,辺の長さが全て決まります。

todai_2010_math_a6_1.png

CHを作る際にCHを含みOA,OBに垂直な2平面を考えてやれば,△OACにおいてCからOAに引いた垂線の足でOAと交わり,△OBCにおいて同様の点でOBと交わります。

todai_2010_math_a6_2.png

したがって,上図より,
todai_2010_math_a6_4.png
となります。Hは△OAB上でMを通ってOAに垂直な直線と,Nを通ってOBに垂直な直線の交点です。よって,OA,OBに垂直なベクトルを求めます。まずはOAとOBの内積を出すと,
todai_2010_math_a6_5.png
適当な係数を置いて,内積=0より
todai_2010_math_a6_6.png
となります。OCを二直線上の点として恒等式を立てると,
todai_2010_math_a6_7.png

【(1)別解答1】ベクトルメインで
ベクトルOCを考えて求める方法もあります。長さは2であり,OA,OBとの内積は,
todai_2010_math_a6_13.png
となります。したがって,OHをOA,OBで表したものからCHを考えていけば,
todai_2010_math_a6_14.png

【(1)別解答2】直方体からの切り出し
全面が合同な四面体は直方体から切り出して作ることができます。有名すぎて発想というかというところですが,直方体には面が6つ,互いに同じ面が3対あるので,各辺が各面の対角線になるように配置することができます(下図参照)。

todai_2010_math_a6_12.png

直方体の辺の長さをa,b,cと置いてOA,OB,OCの長さの2乗を出すと,
todai_2010_math_a6_15.png
なお,今回に限らず,三角形になっていれば全面が合同な三角形はこのように置けます(連立方程式が正の解を持つ条件が”2辺の和>他の辺”になるため,三角形なら満たしています。)
ここまでくると完全に座標で置けてしまいます。O(0,0,0),A(0,√6,√3),B(1,√6,0),C(1,0,√3)とすれば,面Lの方程式は x+py+qz=0と置けるので(Oを通ることから定数部分0),
todai_2010_math_a6_16.png
となるので,法線ベクトル(nとします)は(√6,-1,√2)となります(表記しやすいよう√6倍しています)。CはOA,OB,nであらわせるので,
todai_2010_math_a6_17.png

(2)
上で求めたOHベクトルを参考にCH方向から見た図は,
todai_2010_math_a6_3.png
のようになり,図の点線はOAとOBベクトルの係数の和が5/9-1/3=2/9となるラインです。つまり,0<t<2/9ならばこのラインのO側になるため,三角形になります。一方,2/9≦t<1ならばAB側になり,台形になります(△ABC上の切り口はABに平行になるので)。

(i)0<t<2/9
t=2/9底辺がABの2/9倍で高さがCHになり,一般にその相似な三角形になります。相似比は2/9を1と捉えることになるので,9t/2となります。したがって,
todai_2010_math_a6_8.png

(ii)2/9≦t<1
まず,台形の平行な2辺と高さを求めます。△OABから切り出されるものはtABになります。一方,△CABの方は2/9スタートで全体は7/9になっているため,(t-2/9)×9/7=(9t-2)/7倍となります。高さについても同様に,1-(9t-2)/7=9(1-t)/7倍となります。したがって,
todai_2010_math_a6_9.png

(i)(ii)より,
todai_2010_math_a6_10.png

(3)
(2)の(i)側は単調増加なので,範囲が閉じていないため最大値は持ちませんし,t→2/9は(ii)に含まれます。
(ii)側はただの2次関数なので,2次関数部分を平方完成します。
todai_2010_math_a6_11.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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