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東京大学2015年前期数学第5問
todai_2015_math_q5.png

解説


みんな大好きな整数問題です。多分普通だと思われる解答は予備校さんに譲ってあげて,ここでは算数的な解き方とフラクタルを利用した解答載せておきます。

2015C1=2015であり,当然のことですが,これは偶数ではありません。これを基準にコンビネーションの分母の変化に着目して解いてやります。例えば2015C2になる場合,分母は2が新たに追加され,2014が削除されます。いずれも2の倍数,かつ,4の倍数ではないので,偶奇に影響しない変化です。
これから数字をどんどん増やしていって変化を見て行きますが,見るべきところは2の累乗だけでOKです。
これは,例えば8と2008がともに8で割れて16で割れないならば,コンビネーションが整数であることは保証されているので,16を考えるまでの数は全て大きい方と小さい方の2の累乗の割れ具合は同じになるからです(8+kと2008-kを8で割った余りはマイナスの余りを考慮すれば符号が逆なだけです)。

したがって,
4 2012 ともに4の倍数だが8の倍数でない
8 2008 ともに8の倍数だが16の倍数でない
16 2000 ともに16の倍数だが32の倍数でない
32 1984 1984のみ64で割れる。

つまり,31から32に変化する際に,分母の2の累乗は減ることになり,コンビネーションは偶数になります。答えは32です。

【別解答1】2進数表記
やってることは同じですが,数学的な表記でいくならば,2016-kとkの2の累乗での割れ方に違いが出てくるところを見ており,2進表記にするとわかり易いです。2016は11111100000であり(最後の1が32のところ),ここから減らしていくと11111011111という感じで減っていきますが,これは1と一致します。同様に2引くと11111011110となり,10と一致します。32からは11111011111の11111部分がきれいに消えて,その次が1なので,2016-32の方が一つ多く2で割れます。

【別解答2】パスカルの三角形
コンビネーションなのでパスカルの三角形を描いて,これを2で割ったあまりに変換してやると次のようなフラクタルになります(証明は全部が2k個の111・・・111の次にできるものが1000・・・00001であり,端の1から伝言ゲームのごとく1が伝わることを考えれば,kに関する数学的帰納法で示せます)。

todai_2015_math_a5_1.png

一番上の1は0乗であり,2015乗は2016段目になります。2016を2進数的に削っていくと,丁度32で割り切れたとき余りがなくなってしまいます(まず,サイズが2048の三角形で考えますが,パスカルの三角形が4つの小さい三角形から成立していると考えれば,2016段目は1024の三角形の992段目を考えればいいことが分かります。以下繰り返しです)。
割り切れてしまえば,その段は左から32個の1が続いて,そのあとは0の海になるので,一番左が2015C0だということを考慮すると,33番目つまり2015C32が初めて偶数になります。

こちらの手法も結局2で割り続けていくので,2進数表記と同じですね。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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